北京市房山区2020届高三模拟检测数学试题

房山区2020年高考第二次模拟检测高三数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，那么集合（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】计算，再计算补集得到答案.【详解】，，解得或，故，故.故选：D.【点睛】本题考查解不等式，补集的计算，属于简单题.2.在△中，若，，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，解得.故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.3.函数的最小正周期为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】化简得到，利用周期公式得到答案.【详解】，故周期.故选：A.【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.4.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，再根据计算即可.【详解】由题知：双曲线的渐近线方程为，因为渐近线方程过点，所以过点，即..故选：C【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意找到的关系式为解题的关键，属于简单题.5.函数的零点个数为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由，得到.分别画出和的图象可知当时，函数和有一个交点.当时，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到零点个数，再综合和的情况即可得到函数的零点个数.【详解】令，得：，分别画出和的图象，如图所示：当时，函数和有一个交点.当时，，令，，，.当，，为减函数，当，，为增函数.所以，所以在为增函数，又因为，所以，.故在无零点.综上：函数的零点个数为.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.6.“”是“”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则，则若，则，故是充分条件；若，取，则，故不是必要条件.故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.7.已知函数，则（    ）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】，是偶函数；当时，，设，则在上单增，又为增函数，所以在上单增，是偶函数，且在上是增函数.故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得直观图四棱锥，结合图形，即可得到最长的侧棱为，根据勾股定理即可求出的长．【详解】根据三视图可得直观图四棱锥，如图： 底面是一个直角梯形，，，,,且底面，所以，，∴该四棱锥最长侧棱长为.故选:C【点睛】本题考查三视图的问题，关键是画出直观图，结合图形即可得到答案，考查学生的直观想象和运算求解能力.9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，经过分钟后物体的温度℃可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数．现有℃的物体，放在℃的空气中冷却，分钟以后物体的温度是℃，则约等于（参考数据：）（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】分析】℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，由此能求出的值．【详解】由题知，℃的物体，放在℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是℃，则，从而，，得.故选:D【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，因甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；所以李明需要配送的天数为，所以整个月李明不用去配送的天数是.故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若（），则_________．【答案】【解析】【分析】由题意结合复数的乘法法则可得，由复数相等的条件即可得解.【详解】由题意，由可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.12.若直线与圆相切，则_________．【答案】【解析】【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.【详解】由题意圆的方程可转化为，所以该圆圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.13.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标是________，△（为坐标原点）的面积为_________．【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】设出焦点坐标，根据抛物线定义即可求出点的横坐标，得到点坐标，继而可求△（为坐标原点）的面积.【详解】因为，所以焦点，设点，所以根据抛物线的定义由：，又，所以，解得：，即点的横坐标是. 因为，又，所以，，所以，故△（为坐标原点）的面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长，属于基础题.14.已知正方形的边长为，若，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则，设 ，，因为，，解得，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.对任意两实数，，定义运算“”：给出下列三个结论：①存在实数，，使得成立；②函数的值域为；③不等式的解集是．其中正确结论的序号是_____________．【答案】①③【解析】【分析】由得，，对于①，由得，，由绝对值三角不等式即可判断；（另解：举例说明，取；）对于②，，再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断；对于③，由得，，解出即可判断．【详解】解：由得，，对于①，由得，，即，由绝对值三角不等式可得，，当且仅当时，等号成立，故①对；（另解：取，则，则成立；）对于②，，故②错；对于③，由得，，即，∴，解得，故③对；故答案为：①③．【点睛】本题主要考查新定义问题，解题的关键在于理解新运算的含义，属于中档题．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱中，是边长为正方形，平面平面，，，点为棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，利用平面与平面垂直的性质可得平面，得到平面，得，由是正方形，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，又，故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）证：平面平面，平面平面，平面，且，平面，在三棱柱中，有，平面，得,是正方形，，而，平面；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面，又，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．17.已知数列的前项和为，，           ．是否存在正整数（），使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．从①，②， ③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】若选①，不存在正整数（），使得成等比数列；若选②，存在，使得成等比数列；若选③，存在，使得成等比数列．【解析】【分析】由题意得，若存在正整数（）满足题意，则；若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，求得，，代入数据求解即可求出答案；若选②，则当时，，据此求得，，代入数据求解即可求出答案；若选③，则当时，，据此求得，代入数据求解即可求出答案．【详解】解：若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，，∴，，若成等比数列，则，则，即，即，解得，均不符合题意，故不存在正整数（），使得成等比数列；若选②，则当时，，又符合上式，则，，∴，∴，，若成等比数列，则，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比数列；若选③，则当时， ，又符合上式，则，，∴，，若成等比数列，则，则，即，解得，或（舍去），故存在，使得成等比数列．【点睛】本题主要考查根据数列的递推公式求通项公式，考查计算能力，属于中档题．18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数： 日日日日日日日时在园人数时在园人数时在园人数时在园人数 通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得，在园人数为万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．【详解】解：∵以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是万人，∴在园人数为万人以下为“舒适”，（Ⅰ）月日至日的下午时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，∴甲同学遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，∴的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，∴，，，∴的分布列为012 ∴的数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．19.已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，点在椭圆上，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积等于，并求的取值范围．【答案】（I）；（II）证明见解析；的取值范围是.【解析】【分析】（I）根据椭圆的顶点、离心率以及求得，从而求得椭圆的方程.（II）设出的坐标，求得直线和直线的方程，由此求得交点的坐标，进而证得两点的横坐标之积等于.求得的表达式，由此求得的取值范围.【详解】（I）由于椭圆焦点在轴上，所以， 所以椭圆的方程为.（II）设则、. 依题意可知，且.直线的方程为，直线的方程为.由解得，即.所以两点的横坐标之积为.由.由于，且，所以，.也即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据求椭圆方程，考查椭圆中的定值问题，考查椭圆中的范围问题，属于中档题.20.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求证：当时，．【答案】（1）；（2）;（3）见解析.【解析】【分析】（1）由分母不等于0解不等式可求得定义域；（2）根据导数的几何意义易求出切线方程；（3）先求导判断函数在上的单调性，再求出最小值，命题得证.【详解】解：（1）由得，，.所以函数的定义域为.（2）由得：，又，所以曲线在点处的切线方程为：.（3）由（2）得，.当时，与单调递增，所以在上单调递增.又，所以在上单调递减，在上单调递增.故.【点睛】本题考查了函数的定义域求法、导数的几何意义及函数的最值，是高考基本知识，属于中档题.21.已知集合的元素个数为 且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，且满足，，，则称集合为“完美集合”．（Ⅰ）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（Ⅱ）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；（Ⅲ）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或 ．【答案】（Ⅰ）集合是“完美集合”，集合不是“完美集合”，理由见解析；（Ⅱ）7，9，11中中任一个；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据“完美集合”的定义判断.（Ⅱ）根据“完美集合”的定义，写出集合A，B，C的所有情况，算出x的所有可能的值.（Ⅲ）根据集合中所有元素的和为，以及和得到，利用为正整数求解.【详解】（Ⅰ）是“完美集合”，此时，，，，满足，.不“完美集合”，若为“完美集合”，将分成3个集合，每个集合中有两个元素，则，.中所有元素之和为21 ， 不符合要求. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，若，，根据 “完美集合”定义，则，.若，，根据 “完美集合”的定义，则，.若，，根据 “完美集合”的定义，则，.综上：正整数的值为，9，7，11中任一个.（Ⅲ）设集合中所有元素的和为，而，因为，所以，，，等号右边为正整数，则等式左边可以被4整除，所以或 ，即或 ．【点睛】本题主要考查了集合的新概念问题，集合的运算以及等差数列的求和公式，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.