安徽省安庆市桐城市2020高三下学期高考模拟（十）数学（理）试卷
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知实数集R，集合，集合，则
A. B. C. D.
- 已知复数是纯虚数，其中a是实数，则z等于
A. 2i B. C. i D.
- 若是第二象限角且，则
A. B. C. D.
- 在中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为
A. B. C. D. 1
- 已知空间两不同直线m、n，两不同平面、，下列命题正确的是
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 若m不垂直于，且则m不垂直于n
- 近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门，某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；
可以估计不足的大学生使用app主要玩游戏；
可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的
其中正确的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
- 已知命题p：任意，都有；命题q：，则有则下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
- 已知双曲线C的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为
A. B. C. D.
- 己知数列满足，则
A. B. C. D.
- 已知圆：，圆：点M、N分别是圆、圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最大值是
A. B. 9 C. 7 D.
- 在三棱锥中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：
；
平面ABD；
三棱锥的体积的最大值为；
与BC一定不垂直．
其中所有正确命题的序号是
A. B. C. D.
- 定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 在的展开式中，的系数是______用数字作答．
- 已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则______．
- 已知函数在处的切线与直线平行，则n为______．
- 定义在R上的偶函数满足，且，当时，已知方程在区间上所有的实数根之和为将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数的图象，则______，______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表单位：人次：
满意度 | 老年人 | 中年人 | 青年人 | |||
乘坐高铁 | 乘坐飞机 | 乘坐高铁 | 乘坐飞机 | 乘坐高铁 | 乘坐飞机 | |
10分满意 | 12 | 1 | 20 | 2 | 20 | 1 |
5分一般 | 2 | 3 | 6 | 2 | 4 | 9 |
0分不满意 | 1 | 0 | 6 | 3 | 4 | 4 |
在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．
- 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、设S为的面积，满足．Ⅰ求B；Ⅱ若，求的最大值．
- 如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点．将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．
Ⅰ求证；Ⅱ若平面ABCD．
求二面角的大小；
在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．
- 已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点．
求椭圆C的方程；
设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值． - 已知函数，．
求函数在区间上的最小值；
令，，是函数图象上任意两点，且满足，求实数a的取值范围；
若，使成立，求实数a的最大值． - 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，过点的直线l的参数方程为为参数，l与C分别交于M，N．
写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
若、、成等比数列，求a的值． - 已知函数．
解不等式；
若函数最小值为M，且，求的最小值．
数学模拟试卷（理）
1A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.D
13. 14.13 15.4 16.2 4
17.【答案】解：设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，
所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；
由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，
因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人
为老年人概率是，
所以，，，
所以随机变量X的分布列为：
x | 0 | 1 | 2 |
P |
故；
从满意度的均值来分析问题如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，
乘坐飞机的人满意度均值为：，
因为，
所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．
18.【答案】解：Ⅰ，，即，
由变形得：，
整理得：，又；Ⅱ，，
由正弦定理知，
，
，
当且仅当时取最大值，
故的最大值为．
19.【答案】证明：Ⅰ在图1中，，，
为平行四边形，，
，，
当沿AD折起时，，，
即，，
又，AB、平面PAB，
平面PAB，
又平面PAB，
Ⅱ由平面ABCD，平面ABCD，
可得，所以PA，AB，AD两两垂直，
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，0，，1，，1，，0，，
1，，1，，0，，
设平面PBC的法向量为y，，
则，取，得0，，
设平面PCD的法向量b，，
则，取，得1，，
设二面角的大小为，
则，
．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为，
0，，1，，，，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为，
，
解得或．
20.【答案】解：根据题意，因为P在椭圆上，
当P是短轴端点时，P到x轴距离最大，此时面积最大，
所以，由，解得，
所以椭圆方程为．
根据题意，在时，设直线MN方程为，原点到此直线的距离为，即，
由，得，，，
所以，，
，
所以当时，，，为常数．
若，则，，，，，
综上所述，当时，点O到直线MN的距离为定值．
21.【答案】解：，令，则，
当时，在上单调递增，的最小值为；
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为．
综上，当时，；当时，．
，对于任意的，，不妨取，则，
则由，可得，
变形得恒成立，
令，
则在上单调递增，
故在恒成立，
在恒成立．
，当且仅当时取“”，；
，．
，，
使得成立．
令，则，
令，则由，可得或舍．
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
，在上恒成立．
在上单调递增．则，即．
实数a的最大值为1．
22.【答案】解：Ⅰ曲线C：，可得，它的直角坐标方程为；
，消去t，可得，
直线l的普通方程为 4分Ⅱ将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得
．
设点M，N分别对应参数，，恰为上述方程的根．
则，，
由题设得，即
由得，，则有
，得，或．
因为，所以 10分
23.【答案】解：当时，，即，无解；
当时，，即，得；
当时，，即，得．
故所求不等式的解集为．
因为，
若函数最小值为M，且，所以，
则，．
当且仅当即时取等号．
故的最小值为．
