安徽省安庆市桐城市2020高三下学期高考模拟（十）数学（文）试卷
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 不等式成立的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
- 若a、b、，且则下列不等式中，一定成立的是
A. B. C. D.
- 已知复数，i为虚数单位，则
A. B. C. D. z的虚部为
- 已知角的终边过点，且，则m的值为
A. B. C. D.
- 已知是等差数列，且，，则
A. B. C. D.
- 在区间上机取一个实数x，则sinx的值在区间上的概率为
A. B. C. D.
- 已知幂函数的图象过函数，且的图象所经过的定点，则b的值等于
A. B. C. 2 D.
- 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点有个
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
- 如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩．其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为
A. B. C. D.
- 设平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是
A. B.
C. D.
- 如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为
A. B. 4 C. D.
- 已知函数，若刚好有两个正整数使得，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法--“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”当输入，时，输出的 ______ ． |
- 由直线上任意一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．
- 正四棱柱中，，，点E是的中点，则异面直线与BE所成角的大小为______．
- 已知直线与双曲线的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为，，若，则双曲线C的离心率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 在公差为d的等差数列中，，，，且．
求的通项公式；
若，，成等比数列，求数列的前n项和． - 如图，在四棱锥，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，，
设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；
求证：平面PCD；
求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
- “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；单位：岁，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；下面的临界值表供参考
现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，
求3名幸运选手中至少有一人在岁之间的概率．
参考公式：其中
- 已知圆M：，圆N：，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
求曲线C的方程；
设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为，证明：直线l过定点． - 已知函数．
当时，判断函数的单调性；
当时，有两个极值点，
求a的取值范围：
若的极大值小于整数k，求k的最小值． - 在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．
求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角．
已知函数．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若的解集包含，求a的取值范围．
数学模拟试卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
CDBAA BBBBB CA
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.【答案】18 14.【答案】2 15.【答案】 16.【答案】或
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.【答案】解：公差为d的等差数列中，，，，且，
可得，或，，
则；或，；
，，成等比数列，可得，
即，化为或，
由可得，，
则，
，
可得前n项和
．
18.【答案】证明：如图：
证明：连接BD，由题意得，，
又由，得，
平面PAD，平面PAD，
平面PAD；
证明：取棱PC中点N，连接DN，
依题意得，
又平面平面PCD，平面平面，平面PCD，
平面PAC，
又平面PAC，，
又，，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD；
解：连接AN，由中平面PAC，
知是直线AD与平面PAC所成角，
是等边三角形，，且N为PC中点，
，
又平面PAC，，
，
在中，．
直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．
19.【答案】解：根据所给的二维条形图得到列联表，
| 正确 | 错误 | 合计 |
岁 | 10 | 30 | 40 |
岁 | 10 | 70 | 80 |
合计 | 20 | 100 | 120 |
分
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到
分
有的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．分
按照分层抽样方法可知：岁抽取：人；
岁抽取：人 分
在上述抽取的6名选手中，年龄在岁有2人，年龄在岁有4人．分
年龄在岁记为；
年龄在岁记为b，c，，
则从6名选手中任取3名的所有情况为：
B，、B，、B，、B，、a，、
a，、a，、b，、b，、c，、
a，、a，、a，、b，、b，、
c，、b，、b，、c，、c，，共20种情况，分
其中至少有一人年龄在岁情况有：
B，、B，、B，、B，、a，、
a，、a，、b，、b，、c，、
a，、a，、a，、b，、b，、c，，共16种情况．分
记至少有一人年龄在岁为事件A，则分
至少有一人年龄在岁之间的概率为分
20.【答案】解：由圆M：，可知圆心，半径1；圆N：，圆心，半径7．
设动圆的半径为R，
动圆P与圆M外切并与圆N内切，，
而，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为半长轴长的椭圆，
，，．
曲线C的方程为．
证明：
直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为：，．
，，．
．
解得．
此时直线l的方程为：．
直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为：，．
设，
联立，化为：．
则，，
，，．
化为：，
代入化为：．
直线l的方程为：．
令，可得．
可得直线l过定点
21.【答案】解：当时，，
．
在，上单调递减；
当时，有两个极值点，
则有两个负根．
令，则．
当时，，时，．
则上单调递减，在上单调递增．
又，，，
要使有两个负根，则，即，解得；
由可知，，，
，使得，即，
即，且在上，单调递增，
在上，单调递减．
为的极大值点．
，．
，单调递增，
．
．
22.【答案】解：因为直线l的参数方程为为参数，
当时，直线l的直角坐标方程为．
当时，直线l的直角坐标方程为．
因为，，
因为，所以．
所以C的直角坐标方程为．
曲线C的直角坐标方程为，
将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，
得．
因为，可设该方程的两个根为，，
则，，．
所以
．
整理得，
故．
因为，所以或，
解得或或
综上所述，直线l的倾斜角为或．
23.【答案】解：当时，，即，
即，或，或；
解可得，解可得，解可得．
把、、的解集取并集可得不等式的解集为或．
原命题即在上恒成立，
等价于在上恒成立，
等价于，
等价于，在上恒成立．
故当时，的最大值为，的最小值为0，
故a的取值范围为．
