安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷

数学模拟试卷

一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为______．
   
2. 执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是______．
   
   
   
   
   
   
   

3. 甲、乙、丙、丁4名志愿者参加两个小区防控值班，每个小区去两人，则“甲、乙两人恰好在同一个小区”的概率为______．
4. 函数的定义域为______．
5. 己知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数p的值为______．
6. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为______．
7. 公比为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为______．
8. 在平面直角坐标系xOy中，己知圆C：，圆：直线l：与圆C相切，且与圆相交于A，B两点、，则弦AB的长为______．
9. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在区间上的值域为______．
10. 己知函数，若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是______．
11. 如图，己知半圆．的直径，点P是弦AC：包含端点A，上的动点，点Q在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为______．
12. 记实数，，，中的最大数为，最小数为已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则t的取值范围是______ ．

二、解答题（本大题共9小题，共126.0分）

13. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，且．
    求角C的大小；
    若的面积为，，求c．
    
    
    
14. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，且，E，F分别是棱AB，PC的中点．求证：
    平面PAD；
    平面平面PCD．
    
    
    
    
    
    
    

15. 如图，设点为椭圆E：C：的右焦点，圆C：，过且斜率为的直线l交圆C于A，B两点，交椭圆E于点P，Q两点，已知当时，．
    求椭圆E的方程；
    当时，求的面积．

16. 如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足，宽度为圆O为江中的一个半径为2km的小岛，小镇A位于岸线上，且满足岸线，现计划建造一条自小镇A经小岛O至对岸的水上通道图中粗线部分折线段，B在A右侧，为保护小岛，BC段设计成与圆O相切．设
    试将通道ABC的长L表示成的函数，并指出定义域；
    若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？

17. 已知函数，
    当时，
    求函数在点处的切线方程；
    比较与的大小；
    当时，若对时，，且有唯一零点，证明：．
    
    
    
18. 若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“T数列”．
    若数列的前n项和，，求证：数列为“T数列”；
    若公差为d的等差数列为“T数列”，求d的取值范围；
    若数列为“T数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．
    
    
19. 已知变换T将平面上的点，分别变换为点 ，设变换T对应的矩阵为M．
    求矩阵M；
    求矩阵M的特征值．
    
    
    
20. 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l：为参数与圆C：的位置关系．
    
    
21. 已知函数，，若存在实数x使成立，求实数a的取值范围．
    
    数学模拟试卷

1.【答案】85                2.【答案】8       3.【答案】
4.【答案】     5.【答案】        6.【答案】
7.【答案】56              8.【答案】     9.【答案】
10.【答案】         11.【答案】8       12.【答案】

13.【答案】解：由已知可得：，，，
，
，即，
又，
，
又，
．
，
，
又，即，
，
故．

14.【答案】证明：如图，取PD的中点G，连接AG，FG，
是棱AB的中点，底面ABCD是矩形，
，且，
又，G分别是棱PC，PD的中点，
，且，
，且，
四边形AEFG为平行四边形，
，
又平面PAD，平面PAD，
平面PAD；
，点G是棱PD的中点，
，
又，，
平面ABCD，平面ABCD，
，
底面ABCD是矩形，，
平面ABCD，平面ABCD，且，
平面PAD，
又平面PAD，，
，，
又平面PCD，平面PCD，且，
平面PCD，
又平面PCE，
平面平面PCE．

15.【答案】解：因为直线l过点，且斜率，
所以直线l的方程为：，即，
所以圆心到直线l的距离，
又因为，圆C的半径为a，
所以，即，
解之得或舍
所以，
所以所求椭圆E的方程为．
由得，椭圆的右准线方程为m：，离心率，
则点P到右准线的距离为，
所以，即，
把代入椭圆方程得，，
因为直线l的斜率，
所以，，
此时，
直线l的方程为将其代入椭圆消去y并整理得：，
，，，
．

16.【答案】解：以A为坐标原点，直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，
设，则，，
：．
，直线BC的方程为，
即．
圆O与BC相切，，
即，从而，
在直线BC的方程中，令，得，
．
．
当时，，设锐角满足，则．
关于的函数为，定义域为；
由，
得
令，得，
设锐角满足，则，
当时，．
故建造此通道最少需要百万元．

17.【答案】解：当时，，，，
又，切线方程为，即；
令，
则，
在上单调递减．
又，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即
证明：由题意，，
而，
令，解得．
，，
在上有唯一零点．
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
在恒成立，且有唯一解，
，即，
消去a，得，
即．
令，则，
在上恒成立，在上单调递减，
又，，．
在上单调递增，
．

18.【答案】本小题满分16分
证明：当时，，
又，所以               分
所以为数列的第项，
因此数列为“T 数列”                            分
解：因为数列是公差为d的等差数列，
所以．
因为数列为“T 数列”，
所以任意，存在，使得，即有 分
若，则存在，使得 ，
若，则．
此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．
综上，                                    分
因为，所以．
又因为，且数列为“T数列”，
所以，即，
所以数列为等差数列．                             分
设数列的公差为，则有，
由，得，分
整理得，
 
若，取正整数，
则当时， ，与式对于任意恒成立相矛盾，
因此．
同样根据式可得，
所以又，所以．
经检验当时，两式对于任意恒成立，
所以数列的通项公式为     分
19.【答案】解：设，
则，
，
所以：
，
解得：，，，．
则；
设矩阵M的特征多项式为，
可得，
令，可得或．

20.【答案】解：把直线方程为参数，转化为普通方程为．
将圆C：转化为：，
即：．
圆C到直线l的距离，
所以直线l与C相切．

21.【答案】解：由，
由柯西不等式可得，
即为，
当且仅当，即时，上式取得等号，
即有的最大值为8，
存在实数x使成立，即有，
可得a的范围是．