安徽省安庆市桐城市某中学2019-2020学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷
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数学模拟试卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 若a为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则
A. B. 0 C. 1 D. 2
- 已知正三棱柱的各棱长均为2，它的三视图中的俯视图如图所示，则该正三棱柱的左视图的面积为
A.
B. 2
C.
D. 4
|
- 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则
A. B. C. 1 D. 2
- 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为，则甲、乙下成平局的概率为
A. B. C. D.
- 函数，则的最大值为
A. 1 B. C. 2 D.
- 将函数的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数，则函数的图象与函数的图象
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于直线对称 D. 没有对称关系
- 过点作圆的弦，则所得弦长的取值范围为
A. B. C. D.
- 函数的大致图象为
A. B.
C. D.
- 已知、是双曲线C：的左右焦点，点M在双曲线C上，且轴，则
A. B. C. D.
- 在锐角中，，，则BC边上的中线长的最小值为
A. 1 B. C. D. 2
- 已知A，B，C是球O的球面上的三点，，，，且球O表面积为，则点B到平面OAC的距离为
A. 2 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知向量，且，若，，则非零向量______
- 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建国70周年大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取30人，则每人入选的概率______．
- 设实数x、y满足条件，则的最小值为______．
- 已知函数，，若，，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 已知是等比数列，，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和．
- 随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如表数据：
每周使用次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合计 | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下，认为是否喜欢骑行共享单车与性别有关？
| 不喜欢骑行共享单车 | 喜欢骑行共享单车 | 合计 |
男 |
|
|
|
女 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，按照分层抽样的方式从“骑行达人”中抽取5人做进一步调查，然后从5人中抽2人进行座谈，求这两人性别不同的概率．
附：下面的临界值表仅供参考．
参考公式：，其中．
- 如图所示的几何体中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，四边形AOFE为平行四边形，平面ABCD，H为线段BF上一点．
证明：；
若，，设三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求四棱锥的侧面积．
- 在平面直角坐标系xOy中，点为椭圆E：的右焦点，过F的直线与椭圆E交于A、B两点，线段AB的中点为
求椭圆E的方程；
若直线OM、ON斜率的乘积为，两直线OM，ON分别与椭圆E交于C、M、D、N四点，求四边形CDMN的面积． - 已知函数
求在处的切线方程；
若，证明 - 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数．
求直线l的斜率和曲线C的普通方程；
设直线l和曲线C相交于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的极坐标方程．
- 已知函数．
求不等式的解集；
若不等式对一切都成立，求实数a的取值范围．
数学试卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
BACAA ABDDD CB
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13【答案】 14【答案】 15【答案】 16【答案】
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17【答案】解：根据题意，设等比数列的公比为q，
若则有，解可得或，
又由，则，
又由，则，
根据题意，，，
，
故数列是首项为，公比为4的等比数列
则其前n项和．
18【答案】解：
| 不喜欢骑行共享单车 | 喜欢骑行共享单车 | 合计 |
男 | 10 | 45 | 55 |
女 | 15 | 30 | 45 |
合计 | 25 | 75 | 100 |
，
故在犯错误概率不超过的前提下，不能认为喜欢骑行共享单车与性别有关；
根据分层抽样抽取5名“骑行达人”中，男性3人，女性2人，
总共有10种情况，2人性别不同的有6种，
故概率为
19【答案】解：证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
，
平面ABCD，
，
，
平面BDF，
四边形AOFE为平行四边形，
，
平面BDF，
平面BDF，
；
设点H到平面ABCD的距离为h，则，，
，
，故H为线段BF的中点，
取OB中点G，连接GH，则，
平面ABCD，
平面ABCD，
，
作，交BC于M，连接HM，
，
平面HGM，
，
而中，，
中，，
，
同理可得，而的面积等于的面积，即，
四棱锥的侧面积为．
20【答案】解：由题意可知，，设，，
，，
又点A，B在椭圆上，
，两式相减得：，
，即直线AB的斜率为：，
又直线AB过右焦点，过点，
直线AB的斜率为：，
，，
又，，
，，
椭圆E的方程为：；
设点，，
由题意可知，，即，
当直线MN的斜率不存在时，显然，，
，又，
，，
四边形CDMN的面积，
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：，
联立方程，消去y得：，
，，
，
，
，
整理得：，
由弦长公式得：，
原点到直线MN的距离，
，
由椭圆的对称性可知：四边形CDMN的面积为，
综上所述，四边形CDMN的面积为．
21【答案】解：函数的定义域为R，，
，
故在处的切线方程为．
证明：原问题可转化为求，
当时，，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，即恒成立，
的正负性由决定，
因此当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，
故命题得证．
22【答案】解：已知直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，所以直线的斜率为．
曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．
把直线l的直角坐标方程代入，得到：，
整理得，解得或，
故：，．
所以圆心坐标为，半径为．
所以圆的方程为，转换为极坐标方程为：．
23【答案】解：即为，
可得或或，
解得或或，
可得原不等式的解集为或；
不等式对一切都成立，
即为恒成立，
当时，，即，
由，可得，即；
当时，，即有，
则，即；
当时，显然成立；
当时，，即有恒成立，
由，可得，即．
综上可得a的范围是
