天津市第七中学2019届高三第一次模拟（5月）数学（文）试题
展开天津七中2019届高三年级五月第一次模拟
一、选择题
1.i是虚数单位，复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算即可.
【详解】.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，注意的是进行复数的除法运算时，分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题.
2.若实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.
【详解】
实数x，y满足作出可行域，
由，得，
平移直线，显然直线过点时，最小，
由，解得：，
.
故选：
【点睛】本题主要考查的是简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是基础题.
3.运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ ）
A. 3 B. -2 C. -3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.
【详解】由题意知进入循环运算：
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：；
第四次循环：；
第五次循环：；
，跳出循环，
输出.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是算法的含义、程序框图，循环结构的框图的运行模式，考查学生的分析和解决问题的能力，是基础题.
4.已知命题p：“”，命题q：“直线与圆相切”，则p是q（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切得到的值，即可判断.
【详解】 直线与圆相切，
，解得，
因此可以得到直线与圆相切，
但反之不一定成立，
因此p是q的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】本题主要考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握必要、充分及充要条件的判断方法，是一道中基础题.
5.，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用对数性质和指数幂的运算求解即可.
【详解】在是单调递减函数，
，
在是单调递增函数，
，
而，
.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是三个数的大小比较，注意对数函数性质的运用，解题时要认真审题，是基础题.
6.已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，及，解出，即可得到该双曲线的渐近线方程.
【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右焦点是，，
，
，又双曲线过点，
，
，
，
，
，
得.
双曲线的渐近线方程为.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是关于双曲线与抛物线的综合题，熟记双曲线与抛物线的相关性质是解题的关键，是中档题.
7.己知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（ ）
A. ①③ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.
【详解】函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；
令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；
当时，，可知为增函数，故③正确；
将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
8.已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
由题设可知：不等式“”恒成立等价于：不等式恒成立，即函数的图像恒在直线的上方．由于直线的图像恒过定点，容易算得直线与相切时，可得，画出函数的图像，结合图形可以看出：当直线的斜率满足时，函数的图像恒在直线的上方，故所求实数的取值范围是，应选答案D．
点睛：解答本题的关键是借助函数图像的直观，巧妙运用函数方程思想、等价转化的数学思想、数形结合的数学思想，从而使得问题巧妙获解．解答这类问题的技巧，先将方程（不等式）的两边化为一静一动的两个函数的图像，再数形结合分析探求建立不等式，通过解不等式使得问题获解．
二、填空题：
9.设集合，，若，则实数a取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用绝对值不等式的解法求出集合，再根据列出不等式组，进行求解即可.
【详解】，
，即.
，
，，
，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是集合的基本关系，以及绝对值不等式的计算，解题的关键是掌握绝对值不等式的解法，是基础题.
10.已知函数，则的极大值为________．
【答案】
【解析】
，因此，时取极大值
11.长方体的三个相邻面的面积分别为1，2，2，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出长方体的三边，利用面积求出三边，求出长方体的对角线的长确定球的半径，然后求出球的体积.
【详解】由题意知球的直径是长方体的对角线长，
设长方体的三边为，由题意可知：，
，所以，
所以长方体的对角线的长为：，
所以球的半径为：，
这个球的体积为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是球的内接多边体的有关知识，注意球的直径是长方体的对角线是解决本题的关键，考查学生的空间想象能力和计算能力，是基础题.
12.已知数列满足：，，且，则数列的前13项和为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，可得数列为等差数列，设公差为，运用等差数列的通项公式解方程可得，求得通项公式，再运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和.
【详解】，
可得，
可得数列为等差数列，设公差为，
由，，即为，
解得，
则，
，
即有数列的前13项和为：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法，考查等差数列的判断，列项求和的方法的应用，考查学生的分析和计算能力，是中档题.
13.已知向量，，且，若x，y均为正数，的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，得到，再用“”的代换后利用基本不等式即可.
【详解】，，即，
，
当且仅当，又即时等号成立.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是向量平行的坐标运以及基本不等式的应用，利用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”，是中档题.
14.在中，，，，若点O为的重心，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据重心性质得到，再根据余弦定理得到，再利用数量积公式即可得到.
【详解】取中点为，
点O为的重心，
（重心的性质），
，
由余弦定理得：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查的是向量数量积公式的应用，余弦定理的应用以及重心性质的应用，考查学生对知识的掌握，考查学生的分析和解决问题的能力，是中档题.
三、解答题：
15.已知某中学高三文科班学生的数学与语文的水平测试成绩抽样统计如下表：
数学（x） 人数 语文（y） | 90分~100分 （数A） | 80分~90分 （数B） | 60分~80分 （数C） |
90分~100分 （语A） | 20 | 7 | 5 |
80分~90分 （语B） | 18 | 9 | 6 |
60分~80分 （语C） | 4 | a | b |
设x，y分别表示数学成绩与语文成绩，若抽取学生n人，成绩在90分~100分者记为A等级（优秀），成绩在80分~90分者记为B等级（良好），成绩在60分~80分者记为C等级（及格）.例如：表中数学成绩为A等级的共有人.已知x与y均为B等级的概率是0.09.
（1）若在该样本中，数学成绩良好率是30%，求a，b的值；
（2）在语文成绩为C等级的学生中，已知，，求数学成绩为B等级的人数比C等级的人数少的概率.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据数学成绩与语文成绩均为等级的人数与概率可算出总人数；根据总人数和数学成绩良好率可算出化学成绩优秀的人数，从而得出的值，总人数减去其他的人数即可得出的值；（2）根据图中数据和总人数可得，列出满足的基本事件数量，观察其中的事件数，作商即可求出语文成绩为的学生中，数学成绩为等级的人数比等级的人数少的概率.
【详解】（1）由题意知：，得，
由数学成绩良好率是30%得：，
得，
而，故.
（2），
又，满足条件的有，，，，共有组，
其中有，，共组，
故所求的概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分别表，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数，是基础题.
16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求b及的值.
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理和商的关系化简式子，求出的直，根据角的范围求出角.
（2）利用余弦定理直接求出，先求出，再利用两角差的余弦公式，即可得出结论.
【详解】（1），
由正弦定理得，
又，
，，
，，
.
（2），，
又余弦定理得：，
解得或，
又，
.
由正弦定理得：，
又，
，
.
【点睛】本题主要考查是正弦、余弦定理，两角和与差的正弦，正弦函数的性质，熟练掌握这些知识是解决本题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.
17.已知如图，矩形所在平面与底面垂直，在直角梯形中，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意证出，，然后根据线面垂直的判定定理证明即可；
（3）过作交于，结合题意证明为与平面所成角的平面角后，即可求出与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）四边形为矩形，
，
平面，
平面，
平面.
（2）取中点为，连接，
又，，且，
边形为正方形，为直角三角形，
可得，
又，
，
又平面平面，且四边形为矩形，
平面平面，
平面，
平面，
又平面，
，
，
平面，
平面.
（3）过作交于，
由（2）知平面，且平面，
，
，
平面，
平面，
因此为与平面所成角的平面角，
在中，，，
可得，
又，
，
在中，.
所以与平面所成角的正弦值为：.
【点睛】本题主要考查的线面平行和线面垂直的证明，利用线面平行和线面垂直的判定定理证明是解本题的关键，以及求线与面所成角的求法，找出线面角是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力，是中档题.
18.已知数列满足：，，（其中p为非零常数，）
（1）判断数列是不是等比数列？
（2）求；
（3）当时，令，为数列的前n项和，求.
【答案】（1）是等比数列；（2）；（3）
【解析】
【分析】
(3)当时，，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列的前 项和
【详解】（1）由得，
令，则，
，
，故（为非零常数），
数列是等比数列.
（2）数列是首项为，公比为的等比数列，
，
即，
当时，，
满足上式，
.
（3）当时，，
当时，，则，
当时，，则，
当时，①，
②，
①-②得：，
，
综上所述，
.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题.
19.已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，若的面积为，求直线l与y轴交点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出的值，代入椭圆方程即可.（2）设出直线的方程将直线方程与椭圆方程联立，消去得到关于的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线的斜率用坐标表示据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出的值，利用判别式大于 得到的范围，将面积表示出来，得到的等式，解出，即可得到直线l与y轴交点的坐标.
【详解】（1）设椭圆方程为：，
椭圆的离心率为，过点，
，解得，
椭圆的方程为：.
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：，
，消得，，
且，
，
直线的斜率依次成等比数列，
，，
又，，即，
直线的斜率存在，且，得且.
设为点到直线的距离，
或，
直线与轴交点的坐标为：.
【点睛】本题主要考查的是椭圆方程的求法，利用待定系数法解决椭圆方程，以及直线与圆锥曲线的的位置关系，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口.注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在，是难题.
20.设函数，.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值；
（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3），求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意求出由题意得，且解该方程组即可求出的值；（2）把代入化简，并求出，利用导数求出单调性和极值，由函数在内有两零点列出不等式组，求出不等式的解集可得的取值范围.
（3）表示出，并求出，利用导数求出单调性和极值点，按照在区间内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最小值.
【详解】（1），，
由线与曲线在它们的交点处具有公共切线，
，，
即，
解得.
（2），
，
，
令，得，，
| |||
极小值 |
在内恰有2个零点，
，即，
解得，
因此a的取值范围是.
（3）
令，解得，
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
①当，即时，，
在和单调递增，
在上单调递减，
，
，
当时，，，
当时，，.
②，即，
在上单调递减，
.
③，即，
在上单调递减，
在单调递增，
.
综上所述，.
【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的零点及函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大，是难题.
