2021版高考数学（文）新创新一轮（实用课件+精致讲义+新题检测）全国通用版：第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ (共18份打包)

课时达标检测（五）  函数的单调性与最值

[小题对点练——点点落实]

对点练(一)　函数的单调性

1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y＝x，②y＝log (x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)

A．①② B．②③ 

C．③④ D．①④

解析：选B　①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<<1，故y＝log (x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.

2．(2018·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex

C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选C　根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.

3．(2018·宜春模拟)函数f(x)＝log3(3－4x＋x2)的单调递减区间为(　　)

A．(－∞，2) B．(－∞，1)，(3，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－∞，1)，(2，＋∞)

解析：选C　由3－4x＋x2>0得x<1或x>3.易知函数y＝3－4x＋x2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y＝log3x在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.

4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是(　　)

A．y＝－2x＋1 B．y＝

C．y＝lg x D．y＝x3

解析：选B　y＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lg x在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.

5．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，8] B．[40，＋∞)

C．(－∞，8]∪[40，＋∞) D．[8,40]

解析：选C　由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.

6．定义运算＝ad－bc，若函数f(x)＝在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)

C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]

解析：选D　∵＝ad－bc，∴f(x)＝＝(x－1)(x＋3)－2×(－x)＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，

∵函数f(x)在(－∞，m)上单调递减，

∴(－∞，m)⊆(－∞，－2)，即m≤－2.故选D.

对点练(二)　函数的最值

1．已知a>0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　)

A．2 016 B．2 018 

C．4 032 D．4 034

解析：选D　由题意得f(x)＝＝2 018－.∵y＝2 018x＋1在[－a，a]上是单调递增的，∴f(x)＝2 018－在[－a，a]上是单调递增的，∴M＝f(a)，N＝f(－a)，∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 036－－＝4 034.

2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)

A．有最小值 B．有最大值

C．是减函数 D．是增函数

解析：选D　由题意知a<1，又函数g(x)＝x＋－2a在[，＋∞)上为增函数，故选D.

3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,2] B．(0,2]

C．[2，＋∞) D．(1,2 ]

解析：选A　当x≤2时，－x＋6≥4.当x>2时，∴a∈(1,2]，故选A.

4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　)

A．4 B．2  C．1 D．0

解析：选A　设t＝x－1，则y＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sin t＋t＋2，t∈[－2,2]．记g(t)＝(t2－1)sin t＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sin t＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.

5．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．

解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3.

答案：2－3

6．(2018·益阳模拟)已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．

解析：∵≤f(x)≤，∴≤≤.令t＝，则f(x)＝(1－t2)，令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，即y＝－(t－1)2＋1.∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.∴g(x)的值域为.

答案：

[大题综合练——迁移贯通]

1．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．

解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a＝＝1，

∴当a＝1时，g(a)取最大值1.

2．(2018·衡阳联考)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

解：(1)证明：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．

(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，且f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0，又f(－3)＋f(3)＝f(－3＋3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

3．已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．