第1讲 导数及其应用（知识点串讲）（复习讲义）

第1讲 导数及其应用（知识点串讲）

知识整合

考点1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

  ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即

f′(x0)＝ ＝ .

(2)导数的几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

(3)函数f(x)的导函数：

称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．

例1、(2018·山东东营期中)曲线f(x)＝x2－3x＋2ln x在x＝1处的切线方程为____________.

【答案】x－y－3＝0　[f′(x)＝2x－3＋，f(1)＝－2，f′(1)＝1，故切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.]

[跟踪训练]

1、(2019·山东济南联考)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)

A．1  B．2

C．－1  D．－2

【答案】B　[设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．

又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，

即x0＋a＝1. 又y0＝ln(x0＋a)，

所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.]

考点2．基本初等函数的导数公式

考点3．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3) (g(x)≠0)．

考点4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

例2、(2019·山东菏泽模拟)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋2x＋2f(1)，则f′(2)的值为(　　)

A．－2　　　 B．0　　

C．－4　　　 D．－6

【答案】D　[由题意f(1)＝f′(1)＋2＋2f(1)，化简得f(1)＝－f′(1)－2，而f′(x)＝2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，f(x)＝－2·x2＋2x＋2f(1)．所以f′(x)＝－4·x＋2.所以f′(2)＝－4×2＋2＝－6.]

[跟踪训练]

2、(2019·山东临沂期中)设函数f(x)在(0，＋∞)可导，其导函数为f′(x)，若f(ln x)＝x2－ln x，则f′(1)＝________.

【答案】2e2－1　[设ln x＝t，则x＝et，∵f(ln x)＝x2－ln x，∴f(t)＝e2t－t，∴f(x)＝e2x－x，∴f′(x)＝2e2x－1，∴f′(1)＝2e2－1.]

考点5.与导数相关的重要结论

(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

(2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

(3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

考点6．函数的单调性

(1)在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x) ≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数.

f′(x) ≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数.

(2)在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

(3)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x) ≥0(f′(x) ≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

例3、(2019·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，8)  B．(－∞，16]

C．(－∞，－8)∪(8，＋∞)  D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)

【答案】B　[f(x)＝x2＋在x∈[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝2x－＝ ≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立. 则a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a≤16.]

[跟踪训练]

3、(2019·山东临沂阶段检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜f(x)对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是(　　)

A．f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)

B．f(ln 2)＞2f(0)，f(2)＞e2f(0)

C．f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＞e2f(0)

D．f(ln 2)＞2f(0)，f(2)＜e2f(0)

【答案】A　[令，则＝.∵f′(x)＜f(x)，∴g′(x)＜0，∴g(x)是减函数，则有g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即＜，，所以f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0)．]

考点7．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

(3)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

例4、(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)

A．－1  B．－2e－3

C．5e－3  D．1

【答案】A　[函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，

则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．

由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.

所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．

由ex－1＞0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x＜－2时，f′(x)＞0；

－2＜x＜1时，f′(x)＜0；x＞1时，f′(x)＞0.

所以x＝1是函数f(x)的极小值点．

所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.]

[跟踪训练]

4、(2019·山东淄博模拟)若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为(　　)

A．　　　　 B．∪

C．  D．∪

【答案】D　[因为f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，f′(x)值有正有负，所以f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不同的根，Δ＝(4c)2－12＞0，解得c＜－或c＞.]

考点8．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

例5、已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.

【答案】－13　[f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知＝2，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1，1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1，1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.]