高中人教版新课标A1.3 算法与案例学案设计

§1.3　算法案例(二)

学习目标　1.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择二进制.2.学会各种进位制转换成十进制的计算方法.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律.

知识点一　进位制

思考　59分59秒再过1秒是多少时间？

答案　1小时.

上述计时法遵循的是满60进一，称为六十进制.类比给出k进制的概念.“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.

梳理　一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan－1…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N,0<an<k,0≤an－1，…，a1，a0<k).

为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数10(2)，六进制数341(6)，十进制数一般不标注基数.

知识点二　k进制化为十进制

思考　2小时3分4秒共多少秒？

答案　共2×602＋3×60＋4＝7 384秒.

梳理　一般地，将k进制数anan－1…a1a0(k)转化为十进制：

anan－1…a1a0(k)＝an×kn＋an－1×kn－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.

知识点三　除k取余法

思考　7 384秒是多少小时多少分多少秒？

答案　7 384＝123×60＋4，即123分钟4秒.而123分钟＝2×60＋3，即2小时3分.故7 384秒是2小时3分4秒.

梳理　一般地，把十进制的数化为k进制的数的方法是：

把十进制数除以k，余数为k进制的个位数.把商再除以k，余数为k进制倒数第二位数；依次除以k，直至商为0.这个方法称为除k取余法.

1.二进制数中可以出现数字3.(　×　)

2.把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法.(　√　)

3.不同进制数之间可以相互转化.(　√　)

类型一　k进制化为十进制

例1　二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化为十进制

解　110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.

反思与感悟　将k进制数anan－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数anan－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数.

跟踪训练1　(1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数.

(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数.

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制化十进制

解　(1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.

(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.

所以，化为十进制数是104 902.

类型二　十进制化k进制

例2　将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数.

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化其它进制

解　算式如图，

则458＝13 022(4)＝2 042(6).

反思与感悟　十进制数化为k进制数的思路为

→→.

跟踪训练2　把89化为二进制数.

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化二进制

解　算式如图，

则89＝1 011 001(2).

类型三　两种非十进制互化

例3　324(5)化为二进制数是________.

考点　k进制化十进制

题点　其它进制之间的互化

答案　1 011 001(2)

解析　先将五进制数324(5)化为十进制数：324(5)＝3×52＋2×5＋4＝89，再把十进制数89化成二进制数的算法

如图.

得1 011 001(2)，∴324(5)化为二进制数是1 011 001(2).

反思与感悟　两种非十进制之间转化以十进制为中转站.

跟踪训练3　将七进制数235(7)化为八进制数为________.

考点　k进制化十进制

题点　其它进制之间的互化

答案　174(8)

解析　235(7)＝2×72＋3×71＋5×70＝124，

利用除8取余法可得124＝174(8)，

所以235(7)＝174(8).

1.已知175(r)＝125(10)，则r的值为(　　)

A.1   B.5

C.3   D.8

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制中的运算

答案　D

解析　∵1×r2＋7×r1＋5×r0＝125，∴r2＋7r－120＝0，∴r＝8或r＝－15(舍去)，∴r＝8，故选D.

2.下列各数中，最小的数是(　　)

A.85(9)   B.210(6)

C.1 000(4)   D.111 111(2)

考点　k进位制化十进制

题点　k进位制中的运算

答案　D

解析　85(9)＝8×9＋5＝77,210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78,1 000(4)＝1×43＝64,111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63.故最小的是63.

3.把189化为三进制数，则末位数是(　　)

A.0   B.1

C.2   D.3

考点　十进位制化k进制

题点　十进位制化其它进制

答案　A

解析　采用“除k取余法”，得

即189＝21 000(3).

4.已知1 0b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为(　　)

A.0   B.1

C.2   D.3

考点　k进位制化十进制

题点　其它进制之间的互化

答案　C

解析　∵1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，

a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，

∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.

∵a∈{1,2}，b∈{0,1}，

∴当a＝1，b＝1时符合题意，

当a＝2，b＝时不合题意，

∴a＝1，b＝1，即a＋b＝2，

故选C.

5.(1)将二进制数(2)转化成十进制数；

(2)将53(8)转化为二进制数.

考点　k进位制化十进制

题点　其它进位制之间的互化

解　(1)(2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.

(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数：

53(8)＝5×81＋3×80＝43；

再将十进制数43转化为二进制数的算法如图.

所以53(8)＝101 011(2).

1.要把k进制数化为十进制数，首先把k进制数表示成不同位上数字与k的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计算和.

2.十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤：

3.把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这个数化为十进制数，再利用“除k取余法”化为另一个非十进制数.