高中3.1.3概率的基本性质学案

3.1.3　概率的基本性质

学习目标　1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率.

知识点一　事件的关系与运算

思考　一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？

答案　因为5>4，故B发生时A一定发生.

梳理　1.对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作B⊇A(或A⊆B).与集合类比，如图所示.

不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，(若B⊇A，且A⊇B)，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.

2.关于事件的运算，有下表：

知识点二　互斥与对立的概念

思考　一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3}，事件F＝{出现的点数大于3}，事件G＝{出现的点数小于4}，则E∩F是什么事件？E∪F呢？G∩F呢？G∪F呢？

答案　E∩F＝不可能事件，E∪F＝{出现的点数大于2}.

G∩F＝不可能事件，G∪F＝必然事件.

梳理　互斥事件和对立事件

知识点三　概率的基本性质

思考　概率的取值范围是什么？为什么？

答案　概率的取值范围在0～1之间，即0≤P(A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间.

梳理　概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围为[0,1].

(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

(3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，

则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

特别地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B).

P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.

1.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.(　×　)

2.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.(　√　)

3.若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(　√　)

类型一　事件关系的判断

例1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

考点　互斥事件

题点　互斥事件的判断

解　(1)是互斥事件，不是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.

(2)既是互斥事件，又是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

反思与感悟　(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件.

(2)考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析.

跟踪训练1　从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　)

A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球

C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有两个红球

考点　互斥事件

题点　互斥事件的判断

答案　D

解析　根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.

类型二　事件的运算

例2　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.

考点　事件的包含关系

题点　事件的包含关系

解　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.

同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.

且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.

(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，

所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).

同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.

反思与感悟　事件间运算方法

(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.

(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.

跟踪训练2　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：

(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？

考点　事件的包含关系

题点　事件的包含关系

解　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.

类型三　用互斥、对立事件求概率

例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.

考点　概率的几个基本性质

题点　对立事件的概率

解　(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－－＝.

(2)方法一　“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝＋＝.

方法二　“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－＝，故甲不输的概率为.

反思与感悟　(1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立.

(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解.

跟踪训练3　从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　　)

A.0.20  B.0.39  C.0.35  D.0.90

考点　概率的几个基本性质

题点　对立事件的概率

答案　C

解析　∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.

1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

考点　互斥事件

题点　互斥事件的判断

答案　C

解析　A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.

2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)

A.0.42   B.0.28

C.0.3   D.0.7

考点　概率的几个基本性质

题点　对立事件的概率

答案　C

解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.

3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)

A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件

B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件

C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件

D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件

考点　互斥事件

题点　互斥事件的判断

答案　D

解析　由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.

4.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.

考点　概率的几个基本性质

题点　互斥事件的概率

答案　

解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.

5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.

求：(1)他乘火车或飞机去的概率；

(2)他不乘轮船去的概率.

考点　概率的几个基本性质

题点　互斥事件的概率

解　设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥.

(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.

(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.

1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.

2.互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

3.求复杂事件的概率通常有两种方法

(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；

(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.