2020年四川省乐山市峨眉山市中考数学预测卷

2020年四川省峨眉山市中考数学预测卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．（3分）比﹣3大5的数是（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
2．（3分）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a4）2＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a•a2＝2a2 D．a3÷a2＝a
4．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
5．（3分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
阅读时间/小时
0.5及以下
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5及以上
人数
2
9
6
5
4
4
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（　　）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
6．（3分）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．“如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是（　　）
A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x2+12x＝864 D．x2+12x﹣864＝0
7．（3分）根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2+bx+c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个解x的范围是（　　）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
8．（3分）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x≤ B．﹣≤x≤ C．﹣1≤x≤1 D．x＞
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：
①abc＞0；
②8a+c＞0；
③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；
④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥；
⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）﹣8的立方根是　 　．
12．（3分）要使代数式有意义，x的取值范围是　 　．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝　 　．
14．（3分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OB交B于点D，以OC为半径的弧交OA于点E，则图中阴影部分的面积是　 　．

15．（3分）已知x，y都是非负数，且满足x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0，则x（1﹣y）的最大值为　 　．
16．（3分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（4，2），则在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是点　 　；
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，点Q的坐标是　 　．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．
17．（9分）计算：|﹣|+﹣4cos45°+（﹣1）2020．
18．（9分）解方程组．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形．

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）化简，并求值，其中x是不等式组的正整数解．
21．（10分）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：
（l）杨老师采用的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数　 　．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全枝征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．
22．（10分）如图，直线AB：y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AB于E，交CB于点F．过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G．
（1）求证：GD是⊙O的切线；
（2）求证：GD2＝GC•AG；
（3）若CD＝6，AD＝8，求cos∠ABC的值．

六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分.
25．（12分）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A．
（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF；
（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cosA＝，设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；
（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．

26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．




















参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1．【解答】解：﹣3+5＝2．
故选：B．
2．【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
3．【解答】解：A、（a4）2＝a8，故此选项错误；
B、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
C、a•a2＝a3，故此选项错误；
D、a3÷a2＝a，故此选项正确；
故选：D．
4．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠1＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．

5．【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：＝0.9
30名学生平均每天阅读时间的是0.7，
故选：B．
6．【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故选：B．
7．【解答】解：当x＝1.3时，ax2+bx+c＝2.29，
当x＝1.4时，ax2+bx+c＝3.76，
所以方程的解的范围为1.3＜x＜1.4．
故选：C．
8．【解答】解：设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC＝1，OC⊥PC，
∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝1，
∴OP＝，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是0＜x≤
故选：A．

9．【解答】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
10．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
＞0，
∴abc＞0，
故①正确；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，
故②错误；

③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，
故③正确；

④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即≤﹣3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∵b＝﹣2a，
∴≤﹣3，
解得：a，
故④正确；

⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，
故⑤错误；
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故答案为：x≥0且x≠1．
13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，
∴m2﹣2m＝0且m≠0，
解得，m＝2．
故答案是：2．
14．【解答】解：如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC＝OB＝OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△BDO为等边三角形，OD＝OB＝12，OC＝CB＝6，
∴CD＝6，
∴S扇形BOD＝＝24π，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD
＝﹣﹣（24π﹣×6×6）
＝18+6π．
或S阴＝S扇形OAD+S△ODC﹣S扇形OEC＝18+6π．
故答案为：18+6π．

15．【解答】解：x2+2xy+y2+x+y﹣12＝0
（x+y）2+（x+y）﹣12＝0，
（x+y+4）（x+y﹣3）＝0
∵x、y为非负数，
∴x+y+4＞0，
∴x+y＝3，即x＝3﹣y，
∴0≤x≤3，0≤y≤3，
∴x（1﹣y）＝（3﹣y）（1﹣y）＝（y﹣2）2﹣1≤3，
故答案为：3．
16．【解答】解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（ ，4）到PQ的距离为2．
∴PQ的“等高点”是A或B，
故答案为：A或B；
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，

∴PQ＝2，MN＝2．
设PN＝x，则NQ＝2﹣x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2＝22+x2＝4+x2，MQ2＝22+（2﹣x）2＝x2﹣4x+8，
∴MP2+MQ2＝2x2﹣4x+12＝2（x﹣1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x＝1，
即PN＝NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP＝MQ＝＝，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，

则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE2＝QP2﹣OE2＝22﹣y2＝4﹣y2，QE2＝QM2﹣ME2＝（）2﹣（﹣y）2＝2y﹣y2，
∴4﹣y2＝2y﹣y2，
解得y＝，
QE2＝4﹣y2＝4﹣（）2＝，
当点Q在第一象限时x＝，当点Q在第二象限时x＝﹣，
∴Q（，）或Q（﹣，），
故答案为：Q（，）或Q（﹣，）．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分．
17．【解答】解：原式＝
＝+2﹣2+1
＝．
18．【解答】解：，
①×2﹣②×3得：y＝7，
把y＝7代入①得x＝5，
所以方程组的解为．
19．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．【解答】解：
＝
＝
＝，
解不等式，得﹣3＜x＜2，
又∵x为正整数，
∴x＝1，
当x＝1时，原式＝＝．
21．【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．

（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷＝24件，
C班有24﹣（4+6+4）＝10件，
补全条形图如图所示，

扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×＝150°；
故答案为：150°；

（3）∵平均每个班＝6件，
∴估计全校共征集作品6×30＝180件．

（4）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，
∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为＝．
22．【解答】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD＝90°，
∵正方形ABCD，
∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∠BAO+∠DAF＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF＝BO＝2，DF＝AO＝1，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k＝3×1＝3；
当双曲线过点C时，k＝2×3＝6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6．

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．【解答】解：（1）∵∠CBO＝60°，∠COB＝30°，
∴∠BCO＝90°．
在Rt△BCO中，∵OB＝120，
∴BC＝OB＝60，
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60＝1（小时）；

（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．
则OC＝OB•cos30°＝60，CD＝OC＝30，OD＝OC•cos30°＝90，
∴DE＝90﹣3v．
∵CE＝60，CD2+DE2＝CE2，
∴（30）2+（90﹣3v）2＝602，
∴v＝20或40，
∴当v＝20km/h时，OE＝3×20＝60km，
当v＝40km/h时，OE＝3×40＝120km．

24．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵D是的中点，
∴OD⊥BC，OD平分BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AG⊥BC，
∵DM∥BC，
∴DM⊥OD，
∴GD是⊙O的切线；
（2）证明：∵GD是⊙O的切线，AG是⊙O的割线，
∴GD2＝GC•AG；
（3）解：∵D是的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴BN＝BC，AB＝＝＝10，
∵∠DCH＝∠BAH，∠CHD＝∠AHB，
∴△CDH∽△ABH，
∴＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵，
∴，
∴BH＝BD＝×6＝，
∴DH＝BH＝，
∴AH＝AD﹣DH＝8﹣＝，
∴CH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝+＝，
∴cos∠ABC＝＝＝．

六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共计25分.
25．【解答】解：（1）∵AG＝AE，
∴．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝2∠C，
∴，
∴∠AGE＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，又∠BGE+∠AGE＝180°，
∴∠BGE＝∠D，
∵∠BEF+∠FED＝∠A+∠GBE，
∵∠BEF＝∠A，
∴∠FED＝∠GBE，
又AB＝AD，AG＝AE，
∴BG＝ED，
∴△GBE≌△DEF（ASA），
∴GE＝DF；
（2）在射线AB上截取AH＝AE，联结EH，
∵∠HBE＝∠A+∠AEB，∠DEF＝∠BEF+∠AEB，又∠BEF＝∠A，
∴∠HBE＝∠DEF．
∵AD∥BC，
∴∠EDC＝∠C，∠A+∠ABC＝180°．
∵AH＝AE，
∴，
又∠ABC＝2∠C，
∴∠H＝∠C，
∴∠H＝∠EDC，
∴△BHE∽△EDF，
∴．
过点H作HP⊥AE，垂足为点P．
∵，AE＝AH＝x，
∴，，，
∴，
∵AB＝3，AD＝4，AE＝x，DF＝y，
∴，
∴；
（3）记EH与BC相交于点N．
∵△EMF∽△ABE，∠BEF＝∠A，
∴∠AEB＝∠EMF，或∠AEB＝∠EFM，
若∠AEB＝∠EMF，又∠AEB＜∠EMF，矛盾，
∴此情况不存在，
若∠AEB＝∠EFM，∵△BHE∽△EDF，
∴∠BEH＝∠EFM，
∴∠AEB＝∠BEH，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠BEH＝∠EBC，
∴BN＝EN＝BH＝x﹣3，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴线段AE的长为．

26．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM＝AB＝×4＝2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ＝45°，
∴PD＝PQ＝×2＝4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1＝，m2＝，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（，﹣），
设直线EM1的解析式为y＝﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b＝﹣，解得b＝﹣，
∴直线EM1的解析式为y＝﹣x﹣，
解方程组得，则M1（，﹣）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，

设M2（x，x﹣5），
∵3＝，
∴x＝，
∴M2（，﹣），
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．