2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 解析版

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1 B．x2+2＝0 C．x2+＝2 D．3x+8＝2x+2
2．（3分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k的值为（　　）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
3．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，4，9 B．1，，2 C．1，，2 D．5，11，12
4．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的为（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
6．（3分）一个矩形的长比宽多2cm，面积是7cm2．若设矩形的宽为xcm，则可列方程（　　）
A．x（x+2）＝7 B．x（x﹣2）＝7 C．x（x+2）＝7 D．x（x﹣2）＝7
7．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的符号（　　）

A．k＜0，b＞0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＞0，b＜0
8．（3分）下列命题中，真命题的是（　　）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
9．（3分）菱形的周长为8厘米，两相邻角度数比是1：2，则菱形的面积是（　　）平方厘米．
A．2 B．2 C．4 D．4
10．（3分）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（　　）

A．小涛家离报亭的距离是900m
B．小涛从家去报亭的平均速度是60m/min
C．小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/min
D．小涛在报亭看报用了15min
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）将矩形添加一个适当的条件：　 　，能使其成为正方形．
13．（3分）一次函数y＝2x+4与x轴的交点坐标是　 　．
14．（3分）已知方程ax2+bx+c＝0的一个根是﹣1，则a﹣b+c＝　 　．
15．（3分）Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2+BC2+AC2的值是　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝　 　．

17．（3分）某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg，2020年平均每公顷产5000kg，则水稻每公顷产量的年平均增长率为　 　．
18．（3分）三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是　 　．
19．（3分）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解为　 　．

20．（3分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，过F作FG∥CD交AE于点G，连接DG．若AG＝3，FG＝5，则AE的长为　 　．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣7＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
22．（7分）如图，将一个2×2的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个全等的直角三角形，在图①、图②的网格中，拼出两个不全等且含有正方形的图形．要求拼图时，直角三角形的顶点均在小正方形的顶点上，且四个直角三角形不能有重叠部分．

23．（8分）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．
（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；
（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．
24．（8分）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是AD的中点，连接EC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若四边形ABCE的面积为S，请直接写出图中所有面积是S的三角形．

25．（10分）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
26．（10分）在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM⊥BE交CD于F．
（1）如图①，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD；
（2）如图②，求证：BM＝MF；
（3）如图③，连接BF，若点E为AD的中点，AB＝6，求BF的长．

27．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，点A在直线y＝﹣x上，且点A的横坐标为﹣6，直线AB分别交x轴、y轴于点B和点C．点B的坐标为（10，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图②，点D坐标为（4，8），连接AD、BD，动点P从点A出发，沿线段AD运动．过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，连接DQ．设△BDQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接PC，若∠CPD+∠OBD＝90°，求t的值．


2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），
∴2＝k，
解得，k＝2．
故选：D．
3．【解答】解：A、∵12+42≠92，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
B、∵12+（）2≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
C、∵12+（）2＝22，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
D、∵52+112≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．
故选：C．
4．【解答】解：A、AB∥CD，AD∥BC，可以根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、AB＝CD，AD＝BC，可以根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、AB∥CD，AB＝CD，可以根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：C．

5．【解答】解：△＝12﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
所以方程有两个不相等的两个实数根．
故选：B．
6．【解答】解：依题意，得：x（x+2）＝7．
故选：A．
7．【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
又有k＞0时，直线必经过一、三象限；故知k＞0．
再由图象过而、四象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0．
则k、b的符号k＜0，b＞0．
故选：A．
8．【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝形，原命题是假命题；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：D．
9．【解答】解：∵菱形的周长为8cm，
∴边长为2cm，
∵两相邻角的度数之比为1：2，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝2cm．
∴OA＝1cm．
在直角△AOB中，根据勾股定理可得，OB＝，
∴BD＝2OB＝2
∴菱形的面积＝2×2÷2＝2cm2．
故选：A．

10．【解答】解：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；
B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；
C、返回时的解析式为y＝﹣60x+3000，当y＝1200时，x＝30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30＝20min，返回时的速度是1200÷20＝60m/min，故C不符合题意；
D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15＝15min，故D符合题意；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
12．【解答】解：当邻边相等（或对角线互相垂直）时，矩形就是正方形．
故答案为：邻边相等（或对角线互相垂直）．
13．【解答】解：把y＝0代入y＝2x+4得：0＝2x+4，
x＝﹣2，
即一次函数y＝2x+4与x轴的交点坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
14．【解答】解：把x＝﹣1代入方程，可得
a﹣b+c＝0，
故答案为：0．
15．【解答】解：如右图所示，
在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
又∵AB＝1，
∴BC2+AC2，＝AB2＝1，
∴AB2+BC2+AC2＝1+1＝2．
故答案是2．

16．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠A＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝50°．
故答案是：50°．
17．【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则3200（1+x）2＝5000，
解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（应舍去）．
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为25%．
故答案为：25%．
18．【解答】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；
当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长＝＝，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；
综合以上两种情况，第三边的长应为4或．
19．【解答】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），
∴﹣2m＝3，
解得：m＝﹣，
则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，
由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x＝﹣．
故答案为x＝﹣
20．【解答】证明：如图，连接DF，交AE于点O，

由折叠的性质可知：DG＝FG，ED＝EF，∠AED＝∠AEF，
∵FG∥CD，
∴∠AED＝∠FGE，
∴∠AEF＝∠FGE，
∴FG＝FE，
∴DG＝GF＝EF＝DE，
∴四边形DEFG为菱形，
∴∴GE⊥DF，OG＝OE＝GE．
∵∠DOE＝∠ADE＝90°，∠OED＝∠DEA，
∴△DOE∽△ADE．
∴，即DE2＝EO•AF．
∵EO＝GE，DE＝FG，
∴FG2＝GE•AF，
∵AG＝3，FG＝5，
∴25＝，
∴AF＝5．
故答案为：5．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0，
则x＝＝2，
即x1＝2+，x2＝2﹣；

（2）∵3x（2x+1）＝2（2x+1），
∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
则（2x+1）（3x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣，x2＝．
22．【解答】解：如图所示：

23．【解答】解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，
即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
所以第5个勾股数组为（12，35，37）．
（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1．
24．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF，
在△AFE和△DFB中，
，
∴△AFE≌△DFB（AAS），
∴AE＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）∵四边形ABCE的面积为S，
∵BD＝DC，
∴四边形ABCE的面积可以分成三部分，即△ABD的面积+△ADC的面积+△AEC的面积＝S，
∴面积是S的三角形有△ABD，△ACD，△ACE，△ABE．
25．【解答】解：（1）据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000；

（2）据题意得，100﹣x≤3x，
解得x≥25，
由（1）可知y＝﹣50x+15000，
∵k＝﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y有最大值．
100﹣25＝75（台）．
∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大．
26．【解答】（1）证明：如图①中，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠ABE，
∵FM⊥BE，
∴∠BMF＝90°，
∴∠CMF+∠CMB＝90°，
∴∠CMB＝90°﹣∠CMF，
∴∠AME＝∠CMB＝90°﹣∠CMF，
在△AME中，∠EAM+∠AME+∠AEM＝180°，
∴∠EAM+（90°﹣∠CMF）+（90°﹣∠ABE）＝180°，
∴∠ABE+∠CMF＝∠EAM，
∴∠ABE+∠CMF＝∠ACD．

（2）证明：如图②中，作MH∥BC交CD于H，交AB于G．

∵GH∥BC，
∴∠AGH＝∠ABC＝90°，∠GHD＝∠DCB＝90°，
∴∠GBC＝∠CHG＝∠GBC＝90°，
∴四边形BGHC是矩形，
∴CH＝BG，
∵∠HCM＝∠CMH＝45°，
∴HM＝CH，
∵∠BMF＝90°，
∴∠BMG+∠HMF＝90°，∠HMF+∠MFH＝90°，
∴∠BMG＝∠MFH，
∴△BGM≌△MHF（AAS），
∴BM＝FM．

（3）解：如图③中，延长DC到P，使得CP＝AE，连接EF，BP．

∵AB＝BC，∠BAE＝∠BCP＝90°，AE＝CP，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴BE＝BP，∠ABE＝∠CBP，
∵∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝90°，
∴∠CBP+∠EBC＝90°，即∠EBP＝90°，
∵BM＝MF，∠BMF＝90°，
∴∠MBF＝45°，
∴∠PBF＝∠EBF＝45°，
∵BF＝BF，
∴△BEF≌△BPF（SAS），
∴EF＝PF，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝AD，
∵BC＝AD＝CD＝AB＝6，
∴AE＝DE＝3，
设CF＝m，则DF＝6﹣m，PF＝3+m．
∵EF＝PF，
∴EF＝3+m，
在Rt△DEF中，∵EF2＝DE2+DF2，
∴32+（6﹣m）2＝（3+m）2，
解得m＝2，即CF＝2，
在Rt△BCF中，BF＝＝＝2．
27．【解答】解：（1）∵点A在直线y＝﹣x上，且点A的横坐标为﹣6，
∴A（﹣6，8），
∵B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）∵D（4，8），A（﹣6，8），
∴AD＝10，AD∥CB，
∵B（10，0），
∴OB＝10，
∴四边形OADB是平行四边形，
如图②，过A作x轴的垂线，垂足为E，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OQ，
∵A（﹣6，8），

∴E（﹣6，0），
∴AE＝8，OE＝6，
∴OA＝10，
∴OA＝AD，
∴四边形OADB是菱形，
∴∠ABD＝∠ABO，BD＝BO，
∴△BDQ≌△BOQ（SAS），
∴S△BDQ＝S△BOQ，
∵点P的横坐标为t，
∴点Q的横坐标为t，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
∴Q（t，﹣t+5），
∴QF＝﹣t+5，
∴QF＝﹣t+5，
∴S△BDQ＝S△BOQ＝OB•QF＝﹣t+25，
∴S＝﹣t+25；
（3）如图③，设AD交y轴于F，连接CD，

∵AD＝OA，∠OAC＝∠CAD，
∴△ACO≌△ACD（SAS），
∴∠AOC＝∠ACD，
∵∠OAD+∠AOC＝90°，∠OAD＝∠OBD，
∴∠OBD+∠AOC＝90°，
∵∠CPD+∠OBD＝90°，
∴∠CPD＝∠AOC，
∴∠CPD＝∠ADC，
∵AD⊥x轴，
∴∠CFP＝∠CFD＝90°，
∵CF＝CF，
∴△CPF≌△CDF（ASA），
∴PF＝DF，
∵D（4，8），
∴P（﹣4，8），
∴t＝﹣4．