2020年北京市朝阳区中考数学三模试卷 解析版

2020年北京市朝阳区中考数学三模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.
1．（2分）某种球形病毒的直径为0.00000043米，将数据0.00000043用科学记数法表示为（　　）
A．4.3×10﹣6 B．0.43×10﹣6 C．43×10﹣6 D．4.3×10﹣7
2．（2分）下列各数在数轴上对应的点到原点的距离最近的是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3
3．（2分）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A．130πcm2 B．120πcm2 C．65πcm2 D．60πcm2
4．（2分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5
5．（2分）小红同学对数据25，32，23，25，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）

A．50° B．65° C．75° D．130°
7．（2分）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
8．（2分）某公司为了解销售人员某季度商品的销售情况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成统计表进行分析．
组别
销售数量（件）
频数
频率
A
20≤x＜40
2
0.04
B
40≤x＜60
6
0.12
C
60≤x＜80
13
b
D
80≤x＜100
a
0.48
E
100≤x＜120
5
0.10
合计
50
1
下面有三个推断：
①表中a的值为24；
②表中b的值为0.13；
③这50名销售人员该季度销售数量的中位数在D组．
所有合理推断的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（2分）在如图所示的几何体中，主视图是三角形的是　 　．（填序号）

11．（2分）如图，已知▱ABCD，通过测量、计算得到▱ABCD的面积约为　 　cm2．（结果保留一位小数）

12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是　 　．
13．（2分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　 　．

14．（2分）若m2﹣2m﹣1＝0，则代数式2m2﹣4m+3的值为　 　．
15．（2分）在一次函数y＝x+b的图象上有一点A，将点A沿该直线移动到点B处，若点B的横坐标减去点A的横坐标的差为1，则点B的纵坐标减去点A的纵坐标的差为　 　．
16．（2分）某公园的门票价格如表：
购票人数
1～50
51～100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b）．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a＝　 　；b＝　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，.28题，每小题5分）
17．（5分）计算：|﹣1|﹣tan60°+（π﹣3.14）0+（）﹣1．
18．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（5分）如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB＝AE，（2）BC＝DE，（3）AC＝AD，（4）∠BAC＝∠EAD．请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：

20．（5分）通过使用手机app购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客排队购票、验票的等待时间，且操作极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数．
21．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝2，AD＝4，求BE的长．

22．（5分）为了解某社区居民掌握民法知识的情况，对社区内的甲、乙两个小区各500名居民进行了测试，从中各随机抽取50名居民的成绩（百分制）进行整理、描述、分析，得到部分信息：
a．甲小区50名居民成绩的频数直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．图中，70≤x＜80组的前5名的成绩是：79 79 79 78 77
c．图中，80≤x＜90组的成绩如下：
82
83
84
85
85
86
86
86
86
86
86
86
86
87
87
87
88
88
89
89
d．两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上）、满分人数如下表所示：
小区
平均数
中位数
众数
优秀率
满分人数
甲
78.58
84.5
a
b
1
乙
76.92
79.5
90
40%
4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中a，b的值；
（2）请估计甲小区500名居民成绩能超过平均数的人数；
（3）请尽量从多个角度，分析甲、乙两个小区参加测试的居民掌握民法知识的情况．

23．（6分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若cos∠PAB＝，BC＝2，求PO的长．

24．（6分）如图，点D是射线BC上的一定点，点P是线段AB上一动点，连接PD，作BQ垂直PD，交直线PD于点Q．
小腾根据学习函数的经验，对线段PB，PD，BQ的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PB，PD，BQ的长度的几组值，如表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
BP/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
PD/cm
2.00
1.22
0.98
1.56
2.43
3.38
4.35
BQ/cm
0.00
0.78
1.94
1.82
1.56
1.41
1.31
在PB，PD，BQ的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PD＞BQ时，PB长度范围是　 　cm．

25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝mx交于点A（2，2）．
（1）求k，m的值；
（2）点P的横坐标为n（n＞0），且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．
①n＝1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点A（﹣1，1），将A点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，直线y＝2x+m经过点B，与y轴交于点C．
（1）求点B，C的坐标；
（2）求二次函数图象的对称轴；
（3）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的图象与射线CB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点P在线段BA的延长线上，作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，点D关于直线AB的对称点为E，连接PE并延长PE到点F，使EF＝AC，连接CF．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：AD＝CF；
（3）若AC＝2，点Q在直线AB上，写出一个AQ的值，使得对于任意的点P总有QD＝QF，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．
（1）当t＝0时，
①在点P1（，0），P2（，），P3（，﹣）中，线段AB的直角点是　 　；
②直线y＝x+b上存在四个线段AB的直角点，直接写出b取值范围；
（2）直线y＝x+1与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出t取值范围．

2020年北京市朝阳区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.
1．【解答】解：0.00000043＝4.3×10﹣7，
故选：D．
2．【解答】解：∵﹣2到原点的距离是2个长度单位，
﹣1到原点的距离是1个长度单位，
2到原点的距离是2个长度单位，
3到原点的距离是3个长度单位，
∴到原点的距离最近的是﹣1．
故选：B．
3．【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2），
故选：C．
4．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3，
∴CD＝CE+DE＝2+3＝5，
∴AB＝5．
故选：D．

5．【解答】解：中位数与计算结果与被涂污数字无关，
故选：A．
6．【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠DAB＝50°，
∴∠CAB＝×50°＝25°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
7．【解答】解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵n＞0，
∴m﹣n＜m；
由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确
故选：D．
8．【解答】解：①a＝50﹣2﹣6﹣13﹣5＝24，是合理推断；
②b＝1﹣0.04﹣0.12﹣0.48﹣0.10＝0.26，不是合理推断；
③按照从小到大的顺序排列，第25和第26个数据都在D组，故这50名销售人员该季度销售数量的中位数在D组，是合理推断．
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
10．【解答】解：①的主视图是矩形；②的主视图是矩形，③的主视图是等腰三角形．
∴主视图是三角形的是③．
故答案为：③．
11．【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，

经测量AE≈0.7cm，BC≈1.1cm，
S▱ABCD＝BC•DE＝1.1×0.7≈0.8（cm2），
故答案为：0.8．
12．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k的取值范围是k＜﹣1；
故答案为：k＜﹣1．
13．【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案为：45°．

14．【解答】解：由m2﹣2m﹣1＝0得m2﹣2m＝1，
所以，2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
15．【解答】解：设点A（a，c），点B（m，n），
∵点A，点B在一次函数y＝x+b的图象上，
∴c＝a+b，n＝m+b，
∴n﹣c＝m﹣a＝1，
故答案为：1．
16．【解答】解：∵＝99，＝117，
∴1≤b≤50，51＜a≤100，
若a+b≤100时，
由题意可得：，
∴（不合题意舍去），
若a+b＞100时，
由题意可得，
∴，
故答案为：70，40．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，.28题，每小题5分）
17．【解答】解：|﹣1|﹣tan60°+（π﹣3.14）0+（）﹣1
＝﹣1﹣+1+2
＝2．
18．【解答】解：，
解不等式①得，x≤3，
解不等式②，x＞﹣1，
所以，原不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
在数轴上表示如下：
．
19．【解答】解：已知：AB＝AE，BC＝DE，
求证：AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
证明：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠E，
∵AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD；
也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似．
20．【解答】解：设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，
由题意可得：，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：该公园原来平均每分钟接待游客的人数为20人．
21．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD＝BD，
∴BD＝BC，
∵CE∥BD，AD∥BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
又∵BD＝BC，
∴四边形BDEC是菱形；
（2）如图，连接BE交CD于O，

∵四边形BDEC是菱形，
∴DO＝CO＝CD＝1，BO＝BE，CD⊥BE，
在Rt△BDO中，AD＝BD＝4，DO＝1，
∴BO＝＝＝，
∴BE＝2BO＝2．
22．【解答】解：（1）∵86出现的次数最多，
∴众数a＝86，
优秀率b＝×100%＝50%；

（2）500×＝310（人），
答：甲小区500名居民成绩能超过平均数的人数为310人；
（3）从平均数看，甲小区居民掌握民法知识平均分比乙小区居民掌握民法知识的平均分高；
从中位数看，甲小区居民掌握民法知识的情况比乙小区居民掌握民法知识的情况好；
从众数看，乙小区居民掌握民法知识的情况比甲小区居民掌握民法知识的情况好；
从优秀率看，甲小区居民掌握民法知识的成绩优秀率比乙小区居民掌握民法知识的成绩优秀率高．
23．【解答】解：（1）连接OB，

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
∵，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠PAB+∠BAC＝∠BAC+∠C＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠PAB＝cos∠C＝＝，
∵BC＝2，
∴AC＝2，
∴AO＝，
∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠POA＝∠C，
∴△PAO∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PO＝5．
24．【解答】解：（1）在PB，PD，BQ的长度这三个量中，确定BP的长度是自变量，PD的长度和PQ的长度都是这个自变量的函数，
故答案为PB，PD，BQ．

（2）函数图象如图所示：


（3）观察图象可知PD＞BQ时，PB的长度范围为：0＜PB＜1.5或BP＞3.2．
故答案为0＜PB＜1.5或BP＞3.2．
25．【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝mx交于点A（2，2），
∴k＝2×2＝4，2＝2m，
∴m＝1，
即k＝4，m＝1；

（2）①由（1）知，k＝4，m＝1，
∴双曲线的解析式为y＝，直线OA的解析式为y＝x，
∵n＝1，
∴P（1，1），
∵PM∥x轴，
∴M（0，1），N（4，1），
∴PM＝1，PM＝4﹣1＝3，
∴PN＝3PM；

②由①知，如图，双曲线的解析式为y＝，直线OA的解析式为y＝x，
∵点P的横坐标为n，
∴P（n，n），
∵PM∥x轴，
∴M（0，n），N（，n），
∵PN≥3PM，
∴PM＝n，PN＝﹣n，
∵PN≥3PM，
∴﹣n≥3n，
∵∴0＜n≤1．

26．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，
∴点B（2，3），
∵直线y＝2x+m经过点B，
∴3＝4+m，
∴m＝﹣1，
∴直线解析式为：y＝2x﹣1，
∵直线y＝2x+m与y轴交于点C．
∴点C（0，﹣1）；
（2）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴直线x＝﹣＝1；
（3）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点A（﹣1，1），
∴1＝a+2a+c，
∴c＝1﹣3a，
∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣2ax+1﹣3a，
∴顶点坐标为（1，1﹣4a）
当a＞0时，如图所示，

∴当1﹣4a＜1时，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的图象与射线CB恰有一个公共点，
∴a＞0；
当a＜0时，如图所示，

∴4a﹣4a+1﹣3a＞3，
∴a＜﹣，
综上所述：当a＞0或a＜﹣时，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的图象与射线CB恰有一个公共点．
27．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：

（2）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∵PD⊥AC，
∴∠PDA＝90°，
∴∠DPA＝90°﹣∠PAD＝45°＝∠DAP，
∴AD＝DP，
∵点D关于直线AB的对称点为E，
∴∠FPA＝∠DPA＝45°，
∴∠DPF＝90°，
又∵∠PDA＝90°＝∠ACF，
∴四边形DCFP是矩形，
∴PD＝CF，
∴AD＝PD＝CF；
（3）AQ＝，
理由如下：如图2，连接CQ，

∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2，∠B＝∠CAB＝45°，
∵AQ＝，
∴AQ＝BQ，
又∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴CQ＝AQ＝BQ，∠QCA＝∠CAQ＝45°，
∴∠DAQ＝∠QCF＝135°，
又∵AD＝CF，
∴△DAQ≌△FCQ（SAS），
∴FQ＝DQ．
28．【解答】解：（1）当t＝0时，则点A（0，0），点B（4，0），
∵点C是AB中点，
∴点C（2，0），
∴AC＝BC＝2，
∵AP12+CP12＝+≠AC2＝4，
∴点P1不是线段AB的直角点；
∵AP22+CP22＝+++＝4＝AC2＝4，
∴∠AP2B＝90°，
∴点P2是线段AB的直角点，
∵CP32+BP32＝+++＝4＝BC2＝4，
∴∠CP3B＝90°，
∴点P3是线段AB的直角点，
故答案为：P2，P3；
（2）∵∠APC或者∠BPC为直角，
∴点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，
如图，当直线y＝x+b与以AC为直径的圆相切时，直线y＝x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即存在三个线段AB的直角点，

设切点为F，以AC为直径的圆的圆心为E，直线y＝x+b与x轴交于点H，连接EF，
∵直线y＝x+b与以AC为直径的圆相切，
∴EF⊥FH，
∵直线y＝x+b与x轴所成锐角为30°，
∴EH＝2EF＝2，
∴点H（3，0），
∴0＝×3+b，
∴b＝﹣，
同理可得，当直线y＝x+b与以BC为直径的圆相切时，b＝﹣，
当直线y＝x+b过点C时，直线y＝x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即直线y＝x+b上存在三个线段AB的直角点，
∴0＝+b，
∴b＝﹣，
∴当﹣＜b＜﹣或﹣＜b＜﹣时，直线y＝x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有四个交点，即直线y＝x+b上存在四个线段AB的直角点，
（3）∵直线y＝x+1与x，y轴交于点M，N，
∴点N（0，1），点M（﹣，0），
如图，当直线y＝x+1与以BC为直径的圆相切于点F，设BC为直径的圆的圆心为E，连接EF，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，

∵A（t，0），B（t+4，0），点C是线段AB的中点，
∴AB＝4，AC＝BC＝2，
∵直线y＝x+1与以BC为直径的圆相切于点F，
∴EF⊥MN，
∵∠NMB＝30°，
∴ME＝2EF＝2，
∴点E（﹣+2，0），
∴点A（﹣﹣1，0），
∴t＝﹣﹣1
当直线y＝x+1与以AC为直径的圆相切时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有3个交点，即线段MN上存在3个线段AB的直角点，
同理可求：t＝1﹣，
当点A与点M重合时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，
∴当﹣＜t＜1﹣或t＝﹣﹣1时，线段MN上只存在两个线段AB的直角点．