2020年四川省自贡市中考数学试题 （解析版pdf）
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满分：150分 时间：120分钟
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，∥，，则的度数为 （）
A.40° B.50° C.55° D.60°
【解析】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.故答案为B
2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】根据科学记数法规定，要求，可得C为正确选项.
3.如图所示的几何体的左视图是 （ ）
【解析】根据左视图为，从左往右观看直观图，左视图左边反应空间体后边，左视图右边反应空间体前边，故答案为B
4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得， ，得，故答案为A
5.在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是 （ ）
A. B. C. D.
【解析】点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减3，故答案为D
6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 （ ）
【解析】根据轴对称和中心对称的定义，故答案为A
7.对于一组数据，下列说法正确的是 （ ）
A. 中位数是5 B. 众数是7 C. 平均数是4 D. 方差是3
【解析】将数据按从小到大排列为，平均值，众数是3，中位数为3，方差为，故答案为C
8.如果一个角的度数比它补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是 （ ）
A. 50° B. 70° C. 130° D. 160°
【解析】设这个角为，其补角为，根据题意可得
解之得，故答案为C
9.如图，在△中，,以点为圆心，
长为半径画弧，交于点,连接;则的度数为 （ ）
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
【解析】∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故答案为D
10.函数与的图象如图所示，则的大致图象为 （ ）
【解析】∵反比函数过一三象限，∴，由二次函数图象可得，所以一次函数应该经过第一、二、三象限，故答案为D.
11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则下面所列方程中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得原计划的工作效率为，所以原计划的工作时间为，实际的工作时间为，所以原计划的时间减去实际的时间为40天可得，答案为A
12.如图，在平行四边形中， ,是锐角，于点,是的中点，连接；若 ,则的长为 （ ）
A. B.
C. D.
【解析】延长EF，DA交于G，连接DE，可得△AFG≌△BFE，设，则，可得DF是线段GE的垂直平分线，∴，在Rt△GAE中，
在Rt△AED中，，所以，解得，∴，故答案为B
第Ⅱ卷 非选择题 （共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题
可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)
13. 分解因式： = .
【解析】提公因式得，然后再使用完全平方差公式可得
14.与 最接近的自然数是 .
，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然数是2
15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号）
.
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据.
【解析】先收集，再整理，再分析，最后得到结论，故答案为②④①③
16.如图，我市在键高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 米 （结果保留根号）
【解析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴
17.如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 .
【解析】连接OG、OM，设圆的半径为r，∵CD是圆的切线，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴，由翻折可得DF=DA=4，∵CF=BF=2，∴，∴，∴，∴，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=∠FOM=60°，△OFM是等边三角形，∴∠DOM=120°，∴
18.如图， 直线与轴交于点，与双曲
线 在第三象限交于两点，且 ;
下列等边三角形△，△，△,……
的边,,,……在轴上，顶点
……在该双曲线第一象限的分支上，则= ， 前25
个等边三角形的周长之和为 .
【解析】设，设直线与轴的交点为H，∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=-，AC=，∴，联立得到。
∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，过分别向轴作垂线，可得△的边长为4，△的边长为，△的周长为，△的边长为
∴前25个等边三角形的周长之和为
=60
三.解答题(共8个题，共78分)
19.（本题满分8分） 计算：.
【解析】
20.（本题满分8分）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解.
【解析】化简得；解不等式组可得
∵，即，且为整数，∴，代入
21.（本题满分8分）如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点.
求证： .
【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°
又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF
在△BCF和△ABE中
∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF
22.（本题满分8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“:文明礼仪；：环境保护；；卫生保洁；:垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图.
⑴.本次调查的学生人数是 人，= ；
⑵.请补全条形统计图；
⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 .
【解析】（1），∴本次调查的学生人数为60人，，故m=30
（2）
（3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4种情况，符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为；在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6种情况，其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是
23.（本题满分10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折.
⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；
⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？；
【解析】（1）；当在乙商场购买商品未超过100元时，乙商场按照原价售卖，即；当在乙商场购买物品超过100元时，超过部分按8折，
∴，化简得；
∴；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；
当购买商品原价超过100元时，
若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若，即，此时甲乙商场购物花费一样；
若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.
24.（本题满分10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离.
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，.
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3.
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2.
【解析】（3）①设A表示4，B表示-2，P表示x∴线段AB的长度为6，则的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值6
②设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则
的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为或
③设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB的长度为，的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴
∴或，即或；
25.（本题满分12分）如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且,连接交于点,延长交⊙于点.
⑴.证明：=;
⑵.若,证明:是⊙的切线；
⑶.在⑵的条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长.
【解析】证明：（1）如图，连接CO
在△PCO和△PAO中
∴△PCO≌△PAO（SSS）
∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线，
∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC
∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O
∴F为优弧中点
∴=
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB
∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=
设⊙O的半径为r，则AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=
∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=
∴，∴PO=PD+OD=3r
∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半径
∴PA是⊙O的切线；
（3）由（2）可得，∴
在Rt△PBA中，，连接AE，可得∠AEB=90°
∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴
∴，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示
∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四边形BCDH是矩形，∴BH=CD=
在Rt△BPH中，sin∠BPH=，
在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴
∴ND=PD-PN=，
在Rt△NED中，DE=
∵，∴DE=
26.（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点.
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当 取最大值时.
①.求的最小值；
②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值.
【解析】（1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得
解之得，∴二次函数的解析式为
（2）①将二次函数配方得，∴M（-1,4）
设直线AM的解析式为，将代入直线可得
解得，∴直线AM的解析式为
过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，∵E在直线AM上方的抛物线上，
∴；
当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，
∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值
将直线的解析式代入抛物线得
由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得
，∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得
∴，又∵⊥轴，∴，将代入直线AM，∴
∵，∴B、C两点关于轴对称，∴
∴，当P、B、D三点不共线时
当P、B、D三点共线时，
∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，
在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=
∴的最小值为；
②过Q作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点G，使得
QG=，∴，当三点共线时
DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则
∵QG∥轴，∴，∴
∴的最小值为
