湖南省岳阳市备战2021年中考数学试题分类汇编 专题四 图形的认识（教师版）

 专题四   图形的认识(2016,6)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）A．2cm，3cm，5cm    B．7cm，4cm，2cm    C．3cm，4cm，8cm    D．3cm，3cm，4cm答案：D(2016,7)下列说法错误的是（　　）A．角平分线上的点到角的两边的距离相等       B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．菱形的对角线相等                         D．平行四边形是中心对称图形答案：C(2016,14)如图，一山坡的坡度为，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．答案：100(2016,18)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．答案：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．(2017,12)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQON，则∠MPQ的度数是　   　．答案：60°(2017,18)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，　        　．求证：　                      ．答案：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO=DO，∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．(2017,23)问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为，△BND的面积为．（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DEBC，AD=2时，则=　    　；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求的值；（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出的表达式，不必写出解答过程．答案：解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，∵DEBC，∠EDF=60°，∴∠BND=∠EDF=60°，∴∠BDN=∠ADM=60°，∴△ADM，△BDN都是等边三角形，∴==，=，∴=12，故答案为12．（2）如图2中，设AM=x，BN=y．∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，∴△AMD∽△BDN，∴，∴，∴xy=8，∵==，==，∴===12．（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵=ADAMsinα=axsinα，=DBBNsinα=bysinα，∴=．Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，∵=ADAMsinα=axsinα，=DBBNsinα=bysinα，∴=．(2018,7) 下列命题是真命题的是（　　）A．平行四边形的对角线相等             B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点C．五边形的内角和是540°              D．圆内接四边形的对角相等答案：C(2018,14)如图，直线ab，∠l=60°，∠2=40°，则∠3=　   　．答案：80°(2018,18)如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，且AB=CD，又∵AE=CF，∴BE=DF，∴BEDF且BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．　(2018,23)已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为，△COF的面积为，求（用含α的式子表示）．答案：解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴，∴，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图 3中，在Rt△ABC中，，∵EC平分∠ACB，∴，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF==90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′CF，∴，∵=，∴．(2019,4)如图，已知BE平分∠ABC，且BE//DC，若∠ABC=50°，则∠C的度数是（　　）A．20°    B．25°    C．30°    D．50°答案：B(2019,7)下列命题是假命题的是 (    )A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形B.同角(或等角)的余角相等C.线段直平分线上的点到线段两端的距离相等D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分答案：A(2019,12)若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为       .答案：4(2019,18)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AD、CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2答案：证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD=CD在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠1=∠2.(2019,23)操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）答案（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，∴AD＝BC＝7，AE＝2，在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，∴AB＝，∵＝，PM⊥BE，PN⊥BF，∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2． （3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，∴AD＝BC＝a+b，∴AE＝＝b，∴EH＝AB＝，∵，∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，∵BE＝BF，∴PM﹣PN＝EH＝，∵四边形PMQN是平行四边形，∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．(2020,5)如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，则∠C的度数是（　　）A．154°    B．144°    C．134°    D．124°答案：D(2020,7) 下列命题是真命题的是（　　）A.一个角的补角一定大于这个角B.平行于同一条直线的两条直线平行C.等边三角形是中心对称图形D.旋转改变图形的形状和大小答案：B(2020,12)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BCD=        .答案：70°(2020,18)如图，点E、F在平行四边形ABCD的边BC，AD上，BE=BC，FD=AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形.答案：∵四边形ABCD是平行四边形∴BEDF，BC=AD∴BC=AD又∵BE=BC，DF=AD∴BE=DF∴四边形BEDF是平行四边形.(2020,23)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P,Q分别从C点,A点同时以每秒1个单位长度的速度出发,且分别在边CA,AB上沿C→A,A→B的方向运动,当点Q运动到点B时,P,Q两点同时停止运动,设点P运动的时间为,连接PQ,过点P作PE⊥PQ,PE与边BC相交于点E,连接QE(1)如图2,当时,延长EP交边AD于点F.求证:AF=CE；(2)在(1)的条件下,试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系,并加以证明；(3)如图3,当>s时,延长EP交边AD于点F,连接FQ,若FQ平分∠AFP,求的值答案：(1) 在Rt△ABC中，AC=，PC=1×5=5PA=AC-PC=10-5=5∴PA=PC在矩形ABCD中AFCE∴∠PCE=∠PAF∴∴△CPE≌△APF∴AF=CE(2)，证明略(3)