【数学】吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
1.已知集合,则 ( )
A. B.
C. D.
2.的值是( )
A. B.
C. D.
3.若直线且直线平面则直线与平面的位置关系是( )
A.
B.
C. 或
D. 与相交或或
4.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.直线与圆的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
6.下面程序运行后,输出的值是( )
A.42 B.43 C.44 D.45
7.某高校调查了名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,,,,.根据直方图,这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是( )
A. B.
C. D.
8.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.( )
A.1 B.0 C.-1 D.2
10.已知三点,,共线,则x为( )
A. B. C. D.
11.在中若，则 ( )
A. B.
C. D.
12.已知等差数列的前13项之和为39,则等于( )
A.6 B.9 C.12 D.18
二、填空题
13.函数的图像过的定点是_______.
14.函数的定义域是__________.
15.已知等比数列的公比,则的值为__________.
16.过点作圆的弦,其中最短的弦长为__________.
三、解答题
17.已知函数
(1).求的最小正周期和最大值;
(2).讨论在上的单调性
18.数列中, 且
（1）求数列的前项;
（2）由1猜想数列的一个通项公式
（3）求证数列为等比数列
19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面,，E是的中点，作交于点F．
（1）证明 : 平面；
（2）证明: 平面.
20.已知曲线的极坐标方程,曲线的极坐标方程为,曲线,相交于两点.
（1）把曲线,的极坐标方程化为直角方程;
（2）求弦的长度.
21.已知函数
（1）求不等式的解集
（2） 若存在实数满足求实数的取值范围
四、附加题
22.
把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环分为：（3），（5,7），（9,11,13），（15,17,19,21），（23），（25,27），（29,31,33），（35,37,39,41），(43)，……则第104个括号内各数之和为________________
参考答案
1.答案：B
解析：∵
∴.
故选B.
2.答案：B
解析：
3.答案：D
4.答案：A
解析：设所求直线的方程为,
∵在直线上,
∴,∴
∴所求直线的方程为,故选A.
5.答案：A
解析：
选由题意可知,直线过定点又因为点在圆的内部,所以直线与圆是相交的,故选
6.答案：C
解析：当时,满足条件,执行,输出的值是44.
7.答案：D
解析：由频率分布直方图知,数据落在的频率为.故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为.故选D.
8.答案：B
解析：设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,正方形内切圆的面积为,根据对称性可知,黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半,所以黑色部分的面积为根据几何概型的概率公式,得所求概率故选B.
9.答案：A
解析：因为,其中α为任意角,所以.故选A.
10.答案：B
解析：设,
所以
所以,
所以,,所以.故选B.
11.答案：B
解析：由，
化简，得
根据余弦定理，得
又∵
12.答案：B
解析：由题意，得，所以，解得，所以
13.答案：
解析：当时, ,即定点为
14.答案：
解析：要使函数有意义,则,解得,则函数的定义域是.
15.答案：-3
解析：
16.答案：
解析：
17.答案：(1).
因此的最小正周期为,最大值为
(2).当时,有,
从而当时,
即时, 单调递增;
当时,
即时, 单调递减.
在上单调递增,在上单调递减.
18.答案：（1）由且,得,,,,所以,数列的前项为
（2）猜想
（3）由得,而,
所以数列是一个首项为,公比为的等比数列
19.答案：（1）证明:连结，交于．连结．
∵底面是正方形
∴点是的中点．在△中，是中位线，
∴//．而平面，
且平面，
所以,//平面
（2）∵底面，且底面
∴.
∵ 底面是正方形，有,
，平面，平面,
∴ 平面．
而平面，
∴.
又∵,是的中点，
∴，，
平面，平面.
∴平面．而平面，
∴．又，且，平面，
平面，所以平面
20.答案：（1） 由,得,所以,即曲线的在极坐标方程为.
由,可知曲线的在极坐标方程为.
（2）因为圆心到直线的距离,
所以弦长,所以的长度为.
21.答案：（1）
当时,得,解得
当时,得,所以
当时,得解得
综上可知,不等式的解集为
（2）由依题意得,即
解得故的取值范围是
22.答案：2072
解析：由题意知1044=26，
∴第104个括号中最后一个数字是2×260+1，
∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072
