【数学】江苏省沭阳县2019-2020学年高二下学期期中调研测试试题
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，考试结束后，交回答题卡．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（其中是虚数单位）的虚部是（ ）．
A． B． C． D．
2．下列求导数运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．函数的单调减区间为（ ）．
A． B． C． D．
5．函数在区间上（ ）．
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
6．对于函数，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知函数在处有极大值，则常数c的值为（ ）．
A．1或3 B．3 C．1 D．-1
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分．
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）．
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．纯虚数的共轭复数是
10．直线能作为下列（ ）函数的图像的切线．
A． B．
C． D．
11．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（ ）．
A．在上是增函数；
B．当时，取得极小值；
C．在上是增函数、在上是减函数；
D．当时，取得极大值．
12．若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数为（ ）．
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算 ▲ ．
14．已知函数，那么的值为 ▲ ．
15．函数在上的单调递减，则实数的取值范围为 ▲ ．
16．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知，复数．
（1）若对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）若的共轭复数与复数相等，求的值．
18．（本题满分12分）
已知函数且．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
19．（本题满分12分）
已知复数（，为虚数单位）．
（1）若且是纯虚数，求实数的值；
（2）若复数，求的取值范围．
20．（本题满分12分）
已知函数．
（1）若在处的切线斜率为，求的值；
（2）若在处取得极值，求的值及的单调区间．
21．（本题满分12分）
如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以 为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点 分别在与上），为切点，设．
（1）试求观光道路长度的最大值；
（2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，证明：在上恒成立．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、C 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B 7、B 8、A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分．
9、AB 10、 BCD 11、 BC 12、AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、13 14、2、 15、 16、
四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
17． 解：（1）由题意得，解得，
所以的取值范围是；………………………4分
（2）因为
所以
因为与复数相等，
所以 ………………………8分
解得． ………………………10分
18．解：（1），由，得，解得………… 6分
（2）由（1）得，因为，所以在上单调递增，
最大值为……………………………………………………………………12分
19． 解：（1）………… 3分
由是纯虚数，得，解得 ………………………………6分
（2）由，得，所以,
即的轨迹是以为圆心，半径为的圆 ………………………………9分
可得 ………………………………………………12分
20．解：（1），因为在点处的切线斜率为，……2分
所以，即，解得 ………………………………4分
（2）因为在处取得极值，所以，
即，解得， …………………………………6分
（），
令，即，解得 ……………………………8分
当单调增；
当单调减；
当单调增， ……………………………11分
所以的单调增区间为；减区间为．………12分
21．解：（1）由题意可知， ……………1分
在中，，
在中，， ……………………3分
则，
又因为，所以当时，，
此时，最长，为 ……………………5分
（2）在中，，由（1）得，
则
………7分
则，令即，解得，………9分
当单调递增；当单调递减，
所以为函数的极大值，又函数在区间极大值唯一，因此这个极大值也是函数的最大值．
， …………………………………………………11分
所以草坪面积最大值为平方千米． ……………………………………12分
22．解：（1）………………………1分
当时，增区间为； …………………2分
当时，令得，得…………………4分
增区间为，减区间为 ……………………………5分
（2）令
则 ……………………………7分
令，则
函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得
且时，；时，
即时，；时
函数在上单调递减，在上单调递增……………………………9分
，而，即
两边取对数得 …………………………11分
，故在上恒成立. ………………………12分
