【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）第Ⅰ卷(选择题：共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数满足，则 A.               B.                 C.                D.2．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的A.充分必要条件                          B.充分不必要条件C.必要不充分条件                        D.既不充分也不必要条件3.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(　　)A. B.2C. D.4.如图4所示，则这个几何体的体积等于(　　)A.4 B.6C.8 D.125.下列说法中，正确的是(　　)A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行6．实数使得复数是纯虚数，则的大小关系是 （   ）A．       B．       C．     D．7.已知正四棱柱的底面是边长为1的正方形，若平面内有且仅有1个点到顶点的距离为1，则异面直线 所成的角为 (   )A.       B.        C.      D. 8.函数的部分图象大致为(　  　)A. B.       C.            D. 9.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段           B.一条直线C.一个圆         D.一个圆,但要去掉两个点10.如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①BD⊥AC；②△BCA是等边三角形；③棱锥D­ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是(　　)A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④11.在正三棱锥S­ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S­ABC外接球的表面积是(　　)A．12π     B．32π    C．36π     D．48π12．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）  A、     B、     C、      D、第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.13． (sin x＋cos x)dx＝       14．在三棱锥中，,为的重心，过点作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线和，则该截面的周长为______15．已知一个正三棱柱,一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切,那么这个正三棱柱面积是        ． 16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.    18.(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M.            19.(本小题满分12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标,若直线的极坐标方程为,曲线的参数方程是,(为参数).(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)设直线与曲线交于两点,求.        20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，O为AD中点，M是棱PC上的点，AD＝2BC．（1）求证：平面POB⊥PAD；（2）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMO．        21．(本小题满分12分)如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，,.且与均为正三角形,为的中点，为重心.（I）求证：平面(II)求异面直线与的夹角的余弦值        22. (本小题满分12分) 已知函数.(Ⅰ)试求函数的单调区间；   (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.     
参考答案一、选择题（125分=60分）：1D2B3A4A5C6C7B8C9D 10B 11C12A二、填空题（45分=20分）：13.0    14.8    15     16①②④三、解答题17【证明】　连接AF延长交BC于G，连接PG.在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA，∴＝＝，∴EF∥PG.而EF平面PBC，PG平面PBC，∴EF∥平面PBC.18【证明】　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，同理BM＝＝，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.19由,得,令,,得.因为,消去得,所以直线的直角坐标方程为,曲线的普通方程为.………………6分(2)点的直角坐标为,点在直线上. 设直线的参数方程为,（为参数）,代入,得.设点对应的参数分别为,,则,,所以.………………12分20试题解析：（1）证明： ∵ 为中点，且，∴ 又，，∴ 四边形是矩形，∴ ，又平面平面，且平面平面，平面，∴ 平面，又平面，∴ 平面平面。．．．．．．．6分 （2）如下图，连接交 于点，连接，由（1）知四边形是矩形，∴ ，又为中点，  ∴ 为中点，又是棱的中点，∴ ，又平面，平面，∴ 平面．．．．．．．12分21.【解析】（Ⅰ）方法一：连交于,连接.由梯形，且，知 又为的中点，为的重心，∴，在中，,故//. 又平面, 平面,∴//平面. 方法二：过作交于,过作交于,连接,为的重心，,,又为梯形，,,,  ∴ 又由所作，得// ，为平行四边形.,面    ．．．．．6分(II) 取线段上一点，使得，连,则,, ,在中，则异面直线与的夹角的余弦值为 ………12分22（Ⅰ）因为所以 ①若，则，即在区间上单调递减；②若，则当时， ；当时，；所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；③若，则当时，；当时，； 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．综上所述，若，函数在区间上单调递减；；若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减……6（Ⅱ）依题意得，令.因为，则，即．于是，由，得，即对任意恒成立. 设函数，则.当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减；所以.于是，可知，解得.故的取值范围是 ………12分