【数学】四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，，则 A． B． C． D．2．复数＝ A． B．﹣i C． D．i3．椭圆的焦距为 A．5 B．3 C．4 D．84．已知为等差数列，若，，则 A．1 B．2 C．3 D．65．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：甲：7，7，8，8，10；     乙：8，9，9，9，10．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则 A．， B．，C．， D．，6．随机变量，若，则为 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.67．“直线与直线平行”是“”的 A．充分不必要条件   B．必要不充分条件      C．充要条件         D．既不充分也不必要条件8．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是 A． B． C． D．9．如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于 A．4 B．0 C．2 D．1410．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为 A．3 B．2 C．4 D．11．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为 A． B． C． D．12．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 A． B． C． D．第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．命题“若，则”的逆命题是_____．14．的展开式中的系数是      .（用数字填写答案）15．某单位在名男职工和名女职工中，选取人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______.16．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（I）求的值；（II）求在上的最大值．        18．（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（I）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（II）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，         19．（12分）在等腰梯形中，，，，，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直.（I）求与所成的角的大小；（II）求二面角大小的正弦值.     20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.（I）求椭圆C的标准方程；（II）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.      21．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.（I）讨论函数的单调性；（II）当时，恒成立，求整数的最大值.    （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.（I）当时，求与的交点的极坐标；（II）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.     23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II），，求a的取值范围． 
参考答案1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．B 12．A13．若，则.  14．  15．.  16．17．(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即， 又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：    －3－21 ＋0－0＋ 8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．18．（1），，∴，∴，从而，∴物理成绩更稳定.（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到，，∴线性回归方程为，当时，.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高19．解：（1）在等腰梯形中过作垂线交于，由，，则，，，所以，所以，又因为平面与平面垂直，平面平面，平面.所以平面，所以，与所成的角为（2）建立如图空间直角坐标系.，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则有，取，设平面的一个法向量为，则有，取，∴，∴二面角大小的正弦值为.20．解：（1）设椭圆C的方程为（，，）.   ∵点和N在椭圆C上，∴.解得.   ∴椭圆C的标准方程为.   （2）∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k.设，，直线AB的方程为.∴.∴.   由，消去y，得.由，得.∴，.  ∴.∴.  ∴.∴，或.   ∵点A，B为椭圆上异于M的两点，∴当时，直线AB的方程为，不合题意，舍去.∴直线AB的斜率为.   ∵，点M到直线AB的距离为，   ∴的面积为.   当且仅当时，的面积取得最大值，此时.  ∵，满足.∴直线AB的方程为或.21．（1）    当时，    在上递增；当时，令，解得：在上递减，在上递增；当时，    在上递减（2）由题意得：,即对于恒成立方法一、令，则当时，    在上递增，且，符合题意；当时，    时，单调递增则存在，使得，且在上递减，在上递增        由得：又    整数的最大值为;另一方面，时，，，时成立方法二、原不等式等价于：恒成立令    令，则在上递增，又，存在，使得且在上递减，在上递增又，    又，整数的最大值为22．（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），当时，联立解得交点，当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）当时，无交点；综上，曲线与直线的点极坐标为，，（2）把直线的参数方程代入曲线，得，可知，，所以.23．（1）当时，，①当时，，令，即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）因为，因为，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范围为．