【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集则A． B． C． D．2．复数（是虚数单位）的共轭复数的虚部为 A．-1 B．0 C．1 D．23．已知等差数列满足:，则 A．2 B．1 C．0 D．4．椭圆的焦距为，则的值等于 A． B． C．或 D．5．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是  A．和s2          B．3和9s2           C．3＋2和9s2      D．3＋2和12s2＋46．一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为 A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.217．实数a，b，“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为 A．         B．          C．          D．9．执行如图所示的框图，若输入，则输出的等于 A． B．   C． D．10．已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为 A． B． C． D．11．已知A、B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D．12．若在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．给出命题“若xy=0，则x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_______.14．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于______.（用数字作答）15．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．16．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．  三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(12分)已知函数（，为自然对数的底数），且曲线在点处的切线平行于轴.（1）求的值；（2）求函数的极值. 18．(12分)学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（1）分别计算这10名同学中，男女生测试的平均成绩；（2）若这10名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较S1与S2的大小（不必计算，只需直接写出结果）；（3）规定成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．  19．(12分)如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小． 20．(12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）过点，其心率等于.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且椭圆E于点P.①求证：为定值：②设与以为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线经过定点.       21．(12分)设，函数，其导数为（1）当时，求的单调区间；（2）函数是否存在零点？说明理由；（3）设在处取得最小值，求的最大值   （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切； （1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.    23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，若正实数，满足，求的最小值．               参考答案1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．A 11．B 12．D13．2   14．135   15．20    16．17．(Ⅰ)由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (Ⅱ), ①当时,,为上的增函数,所以函数无极值. ②当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极值; 当,在处取得极小值,无极大值. 点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.18．（1）由茎叶图得男生测试的平均成绩为：=（64+76+77+78）=73.75，女生测试的平均成绩为：=（56+79+76+70+88+87）=76．（2）由茎叶图观察得S1＜S2．（3）设“两名学生的成绩均这优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次为64，76，77，78，女生按成绩由低到高依次为56，70，76，79，87，88，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种方取法：{64，56}，{64，70}，{64，76}，{64，79}，{64，87}，{64，88}，{76，56}，{76，70}，{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，56}，{77，70}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，{78，56}，{78，70}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，成绩大于等于75分为优良，∴其中两名均为优良的取法有12种取法，分别为：{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率19．建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 （1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.20．（1）设椭圆焦距为，所以且解得所以椭圆E的方程为；（2）设，，①易得直线的方程为：， 代入椭圆得，，由得，，从而，所以.②依题意，，由得，，则的方程为：，即，所以直线过定点.21．（1）当时，，由于，且时，；时，，所以在的单调递减，在单调递增（2），令，所以因为，所以，所以在单调递增因为，又所以当时，，此时必有零点，且唯一；当时，，而故时，存在唯一零点（3）由（2）可知存在唯一零点，设零点为当时，；当时，，故在的单调递减，在单调递增所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为由于，所以所以设则令，得；令，得故在的单调递增，在单调递减，所以故的最大值是22．（1）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），∴曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即．（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0）， 4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2 ＝sin2θ2sin（2），当时，，故所以△MON面积的最大值为2．23．（1），当时，，解得，当时，，故；当时，，故；综上：所求不等式的解集为．（2），故，故当且仅当时等号成立，故的最小值为．