【数学】新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（解析版）
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高二下学期期中考试（理）
一、单选题（每题5分，共60分）
1．如图所示的是的图象，则与的大小关系是( )
A． B．
C． D．不能确定
2．已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）
A．2 B． C． D．4
3．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A． B．
C． D．
5．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
8．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为( )
A． B． C． D．6
9．函数在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（每题5分，共20分）
13．设复数（为虚数单位），则的虚部为______.
14．__________
15．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法．
16．“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1，则的值为__________．
三、解答题（17题10分，其余各题12分）
17．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）
（1）如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？
（2）医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？
18．已知函数.
(I) 求的减区间;
(II)当时, 求的值域.
19．如图，设是抛物线上的一点．
（Ⅰ）求该抛物线在点处的切线的方程；
（Ⅱ）求曲线、直线和轴所围成的图形的面积．
20．已知.
（1）写出，，的值；
（2）归纳的值，并用数学归纳法加以证明.
21．已知函数.
（1）若，求函数的最大值；
（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．设，函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有唯一零点，试求a的值．
参考答案
1．B【解析】：由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知成立
2．B【解析】：由题得，
所以故答案为：B.
3．D【解析】曲线,
故切线方程为.故答案为：D.
4．D【解析】由已知条件找到导函数在和为正，在为负，可得原函数的单调性即可得答案.
5．A【解析】分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.
6．D【解析】当时，等式的左边为，
当 时，等式的左边为，
故从“到”，左边所要添加的项是．
7．C【解析】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.
8．C【解析】已知与分别为函数与函数的图象上一点，
可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，
设抛物线的切点为，则由可得，
，所以切点为，
则切点到直线的距离为线段的最小值，
则.
9．A【解析】，，
令，由于，得.
当时，；当时，．
因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，
，，因此，，
10．A【解析】在上恒成立，
则在上恒成立，，，
所以在单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=.故.
11．A【解析】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
12．A【解析】令，则，
若，则恒成立，时函数递增，无最值．
若，由得，
当时，，函数递增；当时，，函数递减．
则处取得极大值，也为最大值，
，，，
令，，上，，上，，
时，，的最小值为．
13．【解析】∵，∴复数的虚部为.
14．【解析】表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆的个圆的面积,所以π×12=；故答案为：
15．192【解析】
第一步：甲乙相邻，共有种排法；
第二步：将甲乙看做一个人，与除丙外的其他人排列，共有：种排法；
第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：种排法
共有：种排法
16．10或64.【解析】
如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2；
经过4次运算后得到的一定是4；
经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；
经过2次运算后得到的是16；
经过1次运算后得到的是5或32；
所以开始时的数为10或64．
所以正整数的值为10或64．
故答案为10或64．
17【解析】
(1)由题可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人,
共种不同的建组方案.
(2)由题,除开医生甲后不考虑必须医生护士都有的建组方案共种,其中只有医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有种不同的建组方案.
18．【解析】
解: (I) 由函数, 求导
当, 解得
即的减区间
(II) 当, 解得
即在上递减, 在上递增
故的值域
19．【解析】
解:（Ⅰ）因为，所以
所以直线在处的斜率
则切线的方程为即
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以由定积分可得面积
所以曲线、直线和轴所围成的图形的面为．
20．【解析】
解: (1)由题意可得：
f(1)=1，，，.
，，
.
(2)由(1)猜想g(n)=n(n2).
下面利用数学归纳法证明：
①当n=2时，猜想成立；
②假设当时，g(k)=k.
即，
∴f(1)+f(2)+…+f(k−1)=kf(k)−k，
则当n=k+1时，
=k+1，
因此当n=k+1时，命题g(k+1)=k+1成立.
综上可得：，g(n)=n(n⩾2)成立.
21．【解析】
解:（1）当时，，定义域为，.
令，得；令，得.
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，
令，，则，
令，，.
所以在单调递增，而，
所以时，，即，单调递减；
时，，即，单调递增.
所以在处取得最小值，
所以，即实数的取值范围是.
22．【解析】
解:（1）函数,
当时,（）,
∴,
令,即,
解得或（舍）,
∴时,；时,,
∴的单调减区间是,单调增区间是
（2）,
则,
令,得,
∵,
∴,
∴方程的解为（舍）,；
∴函数在上单调递减,在上单调递增，
∴,
若函数在区间上有唯一零点,
则,
而满足,
∴,
即,
设,
∵在是单调递增的,
∴至多只有一个零点,
而,
∴用代入,
得,
解得
