【数学】新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年

高二下学期期中考试（理）                      

注意事项：

1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页。答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上。

2．作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损。

第I卷（选择题   共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.若给出演绎推理的“三段论”:

大前提:若直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线.

小前提:已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α.

A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误    D.非以上错误

3.物体的运动方程为s=则此物体在t=1时的瞬时速度为 (　　)

A.2       B.4      C.6       D.8

4．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（ ）

A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆

5．设函数在处存在导数为2，则（ ）

A． B．6 C． D．

6．两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图L2-1-2中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2017,则a2017=(　　)

图L2-1-2

A. 1009×2017       B. 1008×2021     C. 1009×2021      D. 1008×2017

7．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（　）

A．增加了一项

B．增加了两项

C．增加了两项，又减少了一项

D．增加了一项，又减少了一项

8.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取得极大值,则c的值为 (　　)

A. 2      B. 6       C. 4     D. -4

9.已知p=a+(a>2),q=x2+4x(x>0),则 (　　)

A. p>q      B. p<q       C. p≥q       D. p≤q

10．设，，，则大小关系是(  )

A． B．

C． D．

11．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是(   )

A． B．

C． D．

12．若对于任意的，都有，则的最大值为（   ）

A． B． C．1 D．

第II卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知函数f (x)=f ' (-1)x2+3x-4,则f ' (-1)=　　　　. 

14.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“乙或丙获奖”.乙说:“甲、丙都未获奖”.丙说:“丁获奖”.丁说:“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话,则获奖的歌手是　　　　. 

15． __________．

16．已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)(1)已知z=，求|z|;

(2)已知2-3i是关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.

18.（12分）已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.

(1)求b的值;

(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.

19.（12分）(1)已知 0,求证:--;

(2)若，b，c均为实数，且，，，求证：中至少有一个大于0.

20.（12分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2cosθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．

(1)求圆C在直角坐标系下的标准方程；

(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝6 ，射线OM：θ＝(ρ≥0)与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

21.（12分）已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间

22.（12分）已知函数．

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；

（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数对应的点位于（D）

2.结论:直线b∥直线a.

那么这个推理 (　A　)

A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误    D.非以上错误

3．[解析] 当t=1时,s=3t2+1=4,

则v====6,

故物体在t=1时的瞬时速度为6.

4．【解析】因为,所以 (负舍)

因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.

5．【解析】根据导数定义， 所以选A

6．[解析] 观察梯形数的前几项,得

5=2+3=a1,

9=2+3+4=a2,

14=2+3+4+5=a3,

…an=2+3+…+(n+2)==(n+1)(n+4),

由此可得a2017=×2018×2021,

7． 【解析】解：n=k时，左边="1" /k+1 +1/ k+2 ++1/ k+k ，

n=k时，左边="1" /(k+1)+1 +1 /(k+1)+2 ++1 /(k+1)+(k+1)="(1/" k+1 +1 /k+2 ++1/ k+k )-1 /k+1 +1 /2k+1 +1/ 2k+2   故选C

8.[解析] f'(x)=(x-c)2+2x(x-c),由f'(2)=(2-c)2+2×2(2-c)=0,

解得c=6或2.验证知当c=2时,函数在x=2处有极小值,不合题意,故c=6,故选B.

9.[解析] p=a+=(a-2)++2≥2+2=4(当且仅当a=3时取等号),q=-(x-2)2+4≤4(当且仅当x=2时取等号),所以p≥q.

10． 解:考查函数，则，在上单调递增，，

，即，，故选A.

11．【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，故选C．

12．【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.

第II卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.[解析] f'(x)=2f'(-1)x+3,令x=-1,可得f'(-1)=2f'(-1)×(-1)+3,解得f'(-1)=1.

14.甲[解析] 若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说的是真话,不符合题意.

若丙是获奖的歌手,则甲、丁都说的是真话,不符合题意.

若丁是获奖的歌手,则乙、丙都说的是真话,不符合题意.

若甲是获奖的歌手,则甲、乙、丙都说的是假话,丁说的是真话,符合题意.

15． __________．

dx==-=.

16．【答案】

【解析】

因为当时，有不等式成立，

所以，

令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，

由题得

所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.

因为对，不等式恒成立，

所以，

因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.

当x＞0时，，

所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.

所以，所以a＜e,所以正整数的最大值为2.故答案为2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解:(1)方法一:|z|====.

方法二:z====-+i,∴  |z|==.

(2)将2-3i代入方程x2+px+q=0中,得到(-5+2p+q)-(12+3p)i=0,

∴  -5+2p+q=0且12+3p=0,解得p=-4,q=13.

18.解:(1)f'(x)=3x2-2bx+2c,

∵  f'(x)的图像关于直线x=2对称,∴=2,解得b=6.

(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,

f'(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,

当2c -12≥0,即c≥6时, f'(x)≥0, 此时函数f(x)无极值.

19.证明:(1)要证->-,

只需证+>+,

只需证(+)2>(+)2,

即证2a+9+2>2a+9+2,

即证>,

只需证(a+5)(a+4)>(a+6)(a+3),即证20>18,

∵上式显然成立,∴原不等式成立.

(2)假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, ∴  a+b+c≤0,

而a+b+c=+(y2-2z+ )+(z2-2x+ )

=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,

∴  a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故假设是错误的.

故a,b,c中至少有一个大于0.

20.(1)圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，两边同时乘ρ，得ρ2＝2ρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以有x2＋y2＝2x，于是圆C在直角坐标系下的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)由题意得θ＝，设P(，θ)，Q(，θ)，由圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ得＝，

由直线l的极坐标方程2ρsin＝6 得＝3 ，从而|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 .

21.【解析】（1）∵  a＝1，∴  f（x）＝x2－4x＋2lnx，

∴  f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为y＝－3．

（2）f ′（x）＝（x>0），

令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，

当0<a<1时，在x∈（0，a）或x∈（1，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（a，1）时，f ′（x）<0，∴  f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；

当a＝1时，f ′（x）＝≥0，∴  f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；

当a>1时，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（1，a）时，f ′（x）<0，∴  f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）．

22.（1）令，；

令，，

令，解得，令，解得，

则函数在上单调递增，在上单调递减，．

要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．

则，即实数的取值范围为．    

（2） ；

设，；

设，，则在上单调递增.

又，.，使得，即，.

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减.

.

设，.

当时，恒成立，则在上单调递增，

，即当时，.  

当时，关于的不等式在上恒成立.