【数学】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）一、    选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．若集合，，则（   ）                             2．复数等于（   ）                            3. 已知,,,则向量与的夹角是（   ）                     4. 已知函数,则函数在处的切线方程为（   ）                       5.按图所示的程序框图运算,若输入,则输出的值是（   ）                         6.设随机变量服从正态分布，若，则等于（   ）                     7.在的展开式中，的系数等于（   ）                        8.的值为（   ）                               9.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（   ）种         种          种         种10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数 的图象,以下关于函数的判断正确的是（   ）点为函数图象的一个对称中心为函数图象的一条对称轴函数在区间上单调递减函数在区间上单调递减11.已知定义域为上的函数既是奇函数又是周期为3的周期函数，当时,则函数在区间上的零点个数是（   ）                                12.已知双曲线的左、右焦点,是半焦距,是双曲线上异于实轴端点的点,满足=,则双曲线的离心率的取值范围是（   ）                    二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是       .14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正(主)视图和侧视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的体积是        .15.角的顶点为坐标原点,始边与轴正半轴重合且终边过两直线与 的交点,则        .16.某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是           ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分) 成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.    18. (本小题满分12分)在中，分别为内角的对边，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求.     19. (本小题满分12分)已知矩形，面，分别是的中点，设，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小.      20. (本小题满分12分)张先生家住小区,他在科技园区工作,从家开车到公司上班有,两条路线(如图), 路线上有,,三个路口,各路口遇到红灯的均为；上有,两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(1)若走路线,求最多遇到1次红灯的概率；(2) 若走路线,求多遇到红灯的次数的数学期望.      21. (本小题满分12分)已知椭圆的右顶点,离心率为,为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知(异于点)为椭圆上一个动点,过作线段的垂线交椭圆于点,求的取值范围.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 22. (本小题满分12分)已知函数（Ⅰ）若,求函数的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.                        参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1 A    2 B    3 A    4 A    5 C   6 B   7 D    8 C    9 D    10 C    11 D    12 B二、填空题（每小题5分，共20分）13．4        14.       15.      16.600三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解:(1)设成等差数列的三个数分别为,,依题意得:  ………（1分）所以数列中的、、依次为,,,由 ,  ……………………………………………（2分）解得 或(舍),  ……………………………………………（3分）故数列 公比为 …………………………………………（4分）由 得,  ……………………………………………………（5分）所以 .  …………………………………（6分）(2)由(1)知数列的前项和 ,即 ,  …………………………………………………（7分）所以 .  ………………………………………………（8分）因为 , ……………………………………（9分）所以数列是以为首项,公比为的等比数列.  ……………………（10分）18.解：（1）因为, ………………………（1分）所以 ,………………（2分）即 ,……………………………（3分）得 ，………………………………………（4分）因为 ，所以 ,…………………………（5分）所以 .…………………………………………（6分）（2）由，所以，……………（8分）所以， ………………（10分）因为 ，  ………………………………（11分）所以 .………………………………（12分）19.解法一:(1)如图连接,交于点,因为是矩形,所以是与的中点,再连,. …（2分）因为分别是的中点，所以 ,所以. ………………………………………（3分）又因为面,所以面,. …………………………………………(4分）又因为面,面,所以面,…………（5分）而面,所以. ………………（6分）(2) 因为面且是矩形,所以由三垂线定理知,所以就是二面角的平面角, …………………………（9分）因为且所以, ………………（11分）故二面角的平面角为.…………（12分）解法二:(1)证明:如图,以为原点,分别以为轴建立平面直角坐标系, （1分）则,,,,,, , ……（3分）,，…………….（4分）.…………（6分）(2) 由(1)知,,，，……（7分）可知平面的法向量为，…………………………………………………（8分）设平面的法向量为,则  ，解得.………………（10分）设二面角的平面角为，则，……………………………………………………（11分）故二面角的平面角为.………………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则.……………………………………………(5分)（Ⅱ）依题意，的可能取值为. ………………………………………………(6分)，， . ………………………………………………………………(9分)随机变量的分布列为： …………………………………(10分)   . …………………………………(12分)21．解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以.又 ，得 . 所以.所以椭圆的方程为 .………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线的斜率为时，，为椭圆的短轴，则.所以 . …………………………………………………………………………（6分）当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，则直线的方程为 .…………………………………………………(7分)由  得  ，即  ，所以 ，所以 .  ……………………………………（8分）所以  ，即  .同理可得.所以  .………………………………………………（10分）设 ，则，..令  ，所以是一个增函数，所以  .综上，的取值范围是.………………………………………………（12分）22.解：（1）因为 ， ……………………………………（2分）当时，，令，得，…………………………… （3分）又的定义域为，，随的变化情况如下表:10单调递减极小值单调递增所以时，取得极小值为. 的单调递增区间为，单调递减区间为.……………………………………（5分）（2）因为，………………………………………（6分）且.令 ，得，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. …………………………（7分）        当，即时，对成立， 所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即.…………………………………………（9分）当，即时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于不成立. ………………………………（10分）若，即时，则有单调递减极小值单调递增所以在区间上的最小值为.由，得 ，解得，即.…………………………………………(11分)综上，由可知符合题意.……………………………(12分)