【数学】北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题
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本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集，集合，，则集合
（A） （B） （C） （D）
2．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是
（A） （B） （C） （D）
3. 已知向量，.若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
4．设，则
（A） （B） （C） （D）
5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为
（A） （B） （C） （D）
6. 圆截轴所得弦的长度等于
（A） （B） （C） （D）
7．已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若,∥且∥,则∥（D）若，，则
8. 已知函数，则“在上单调递减”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，且，都有；
②；③是偶函数；
若，，，则，， 的大小关系正确的是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知复数，则 ．
12．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 .
13．数列中，，，. 若其前项和为，则___ ____.
14．在△中，，，，则边上的高等于 .
15．已知函数：① 函数的单调递减区间为；
② 若函数有且只有一个零点，则；
③ 若，则，使得函数恰有2个零点，，恰有一个零点，且，.
其中，所有正确结论的序号是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为. 又，且，是否存在大于的正整数,使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
17.（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
18. （本小题满分14分）
在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达
人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；
（Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，
2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元．
方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面
都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次． 每翻到一次笑脸可得30元奖励金．如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．
以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．
19.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段上一点（不是端点），________ .
从①；②平面；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（Ⅰ）求证：四边形是直角梯形；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分15分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的下方，求实数的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知椭圆的短轴长为2，离心率为，、分别是椭圆长轴的左右两个端点，P是椭圆上异于点、的点．
（Ⅰ）求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点满足：，．求与面积的比值．
参考答案
一、选择题：（） 1.A 2.D 3 . C 4.B 5. A 6. A 7. D 8.B 9.D 10. C
二、填空题：（）11. 12. ；13. ；14. ；15. ①③.
注：第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共5小题，共85分.
16.（本小题满分14分）
解：存在正整数,使得. (此处未写，结论处有，不扣分) …………2分
理由如下：
在等差数列中， …………5分
又，.
所以由 得 …………7分
所以. …………10分
令，即.
整理得.解得或. …………12分
因为，所以. （未写k>1扣一分） …………14分
所以当时，.
17. (本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为=
． …3分
所以函数的最小正周期． …4分
因为函数的的单调递减区间为，
所以, …6分
解得, …7分
所以函数的单调递减区间是. …8分
(一个都没写的扣一分)
（Ⅱ）由题意可知，不等式有解，即． …10分
由（Ⅰ）可知.当时,, …11分
故当,即时, f(x)取得最大值,最大值为. …13分
所以.故实数的取值范围是. …14分 18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件A. …1分
由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，
消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12（人），
从这12人中抽取3人，共有种不同方法， …2分
其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法．
所以，． …4分
（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，
2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为
，，， …5分
按照方案1奖励的总金额为（元）． …6分
方案2 设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，30，60，90．…7分
由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为， …8分
所以，
，．
0 | 30 | 60 | 90 | |
所以的分布列为：
…10分
数学期望为（元）， …12分
按照方案2奖励的总金额为 （元）， …13分
因为由，所以施行方案1投资较少． …14分
19. (本小题满分14分）
解：（Ⅰ）选择①，连结，
因为平面， 所以， ……………..1分
因为，，所以 .….2分
因为，，所以，所以. …3分
因为，所以， 所以四边形是直角梯形.….4分
选择②，连结，
因为平面， 所以， ……………..1分
因为，，所以 .….2分
因为，，所以，所以. …3分
因为平面，平面，平面平面，
所以， 所以四边形是直角梯形. …….4分
（Ⅱ）在平面内过作,则平面，由（Ⅰ）知，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,….5分
则，，，，.
则,， …….6分
设平面的一个法向量，则即…7分
令，则，，，则． …8分
设直线与平面所成的角为，
所以. …9分
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（Ⅲ）设，则 ．…10分
所以 ， …11分
若平面，则， …12分
即，所以．…13分
因为，所以，线段上不存在点使得直线平面． …14分
20. (本小题满分15分）
（Ⅰ）因为，定义域R，所以.……2分
令，解得，令，解得……3分
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为……4分
（Ⅱ）令，……5分
. ……6分
由得， ，于是，故函数在上是增函数. ……7分
所以当时，，即.…… 9分
（Ⅲ）若曲线在曲线的下方，
则 …10分
令，
则. 11分
当时，解法一：因为，
所以
由（Ⅱ）知
.……13分
解法二：因为，所以，，，且，则，，所以，在上是增函数. 所以，
符合题意. ……13分
当时，若，则，那么，所以，
则在上是减函数. 所以时，，
不合题意. ……15分
综上所述，实数的取值范围是.
21. (本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意，得，. …… 2分； 又因为， …… 3分
所以，. …… 4分；故椭圆的方程为. ……… 5分
（Ⅱ）因为两个三角形的底边均为，所以面积之比等于 …6分
解法一：由P是椭圆上异于点、的点可知, 直线的斜率存在且不为0
设直线的斜率分别为，则直线的方程为 …7分
由直线的方程为． …8分
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，所以． ……9分
所以 …11分
由，所以直线的方程为． ……12分
由 ，得． ……13分
所以． ……14分
解法二：设，则，①， …7分
且，因为， …8分
所以，则直线②， …9分
同理直线③， …10分
③与②联立，解得：， …12分
将①带入，得， …13分
所以． ……14分
