【数学】黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）

黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）共150分，考试时间120分钟。一、选择题(共12小题,共60分)                                         1.集合A＝{x∈Z|－2<x<3}的元素个数为(　　)A． 1   B． 2     C． 3       D． 42.集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B等于(　　)A． {(－1,1)，(2,4)}        B． {(－1,1)}C． {(2,4)}                D． ∅3.若集合A＝{x|x＝m＋，m∈Z}，B＝{x|x＝－，n∈Z}，C＝{x|x＝＋，p∈Z}，则A，B，C之间的关系是(　　)A．A＝B＝C   B．AB＝C   C．ABC    D．BCA4.函数y＝的定义域为(　　)A． (－∞，1)           B． (－∞，0)∪(0,1]C． (－∞，0)∪(0,1)     D． [1，＋∞)5.已知函数f(n)＝则f(5)的值是(　　)A． 4      B． 48       C． 240         D． 1 4406.设f(x)＝则f(f(0))等于(　　)A． 1    B． 0    C． 2     D． －17.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＜c＜b    B．b＜a＜c   C．b＜c＜a    D．c＜b＜a8.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)A．c>b>a    B．b>c>a   C．a>c>b   D．a>b>c9.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)A．   B． 2   C． 0    D． 110.复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足(　　)A．x＝－   B．x＝－2或x＝－C．x≠－2    D．x≠1且x≠－211.已知a，b∈R，则“lna>lnb”是“a<b”的(　　)A． 充分不必要条件   B． 必要不充分条件C． 充要条件         D． 既不充分也不必要条件12.命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是(　　)A． ∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B． ∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C． ∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D． ∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0二、填空题(共4小题,共20分)                                                                          13.若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.14.已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.15.直线x－2y＋3＝0与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且P(－1,1)恰好为AB中点，则椭圆的离心率为________．16.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.           三、解答题(共6小题,共72分)                                                                          17.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求弦长|CD|.     18.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．     19.从一批草莓中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算草莓的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)从(2)中抽出的5个草莓中任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．   20.已知双曲线E：－＝1.(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．     21.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4，0)．(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．      22.已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点．
参考答案1.D  2.D  3.B  4.B  5.C6.C  7.C  8.D  9.D  10.D11.A  12.D13.0或1       14.{(0,1)，(－1,2)}15.　        16.　0或117.解　(1)由题意，b＝1，＝，a2＝b2＋c2，联立解得a＝，c＝1，可得椭圆的方程为＋y2＝1.(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由得9x2＋16x＋6＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝×＝.  18.解　(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，∴解得－<k<且k≠±1.∴当双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)．由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，∴当A，B在双曲线上的一支上且|x1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(2)2，即2＋＝8，解得k＝0或k＝±.又∵－<k<且k≠±1，∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.19.(1)重量在[90,95)的频率＝＝0.4；(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，则重量在[80,85)的个数为：×5＝2；(3)设在[80,85)中抽取的2个草莓为x，y，在[95,100)中抽取的三个草莓分别为a，b，c，从抽出的5个草莓中，任取2个共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(x，y)10种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)6种；设“抽出的5个草莓中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A，则事件A的概率P(A)＝＝.20.解　(1)当m＝4时，双曲线方程化为－＝1，所以a＝2，b＝，c＝3，所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，渐近线方程为y＝±x.(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以<1＋<2，解得5<m<10，所以实数m的取值范围是(5,10)．21.(1)解　由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，抛物线C的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝，解得k＝±，所以直线l的斜率为±.(2)证明　设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，联立方程消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝，因为N为AB的中点，所以＝y0，即＝y0，所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.22.(1)解　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则kOA＝，kOB＝.因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.(2)证明　因为y＝2px1，y＝2px2，所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，所以＝，所以kAB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，所以y＝＋y1－，即y＝＋.因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，所以y＝＋，所以y＝(x－2p)，即直线AB过定点(2p,0)．