【数学】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三） 试卷

江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年

高二下学期期末模拟（三）

时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合则∩ (    )

  A.  B.           

C.             D.

2.已知是的共轭复数，则 (    )

3.设向量，，，且，则 (    )

4.的展开式中的系数是 (    )

5．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 (    )

A．里          B．里            C．里              D．里

6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（   ）

   A.               B.                 C.                  D.

7．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=  (    )

A．−2           B．−1          C．0            D．2

8．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是 (    )

A．            B．          C．          D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9． 对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为 (    )  

A．若a>b，则   B．若a>b，则

C．若a>0>b，则a2<－ab  D．若c>a>b>0，则>

10. 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是 (    )  

的方程为               

的离心率为        

曲线经过的一个焦点     

直线与有两个公共点

11．将函数图象向右平移个单位得函数的图像．则下列命题中正确的是 (    )  

A．在上单调递增  

B．函数的图象关于直线对称

C．      

D．函数的图像关于点对称

12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，以下结论正确的有 (    )  

A．AC⊥BE；                B．点A到ΔBEF的距离为定值

C．三棱锥A－BEF的体积是正方体体积的；

D．异面直线AE，BF所成的角为定值．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如果角的终边过点，那么等于            .

14．设，则的最小值为            .

15. 已知直线与圆心为的圆相交于、两点，且为等边三角形，则实数            .

16. 已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是___________;三棱锥的外接球的表面积是

____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

18.（10分）

已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前项和．

19.（12分）

如图，直三棱柱中，分别是的中点，

（Ⅰ）证明：//平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

20.（12分）

某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：

（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：

（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？

附：，，，.

21.（12分）

已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若，求l的方程；

（2）若，求．

22.（14分）

已知函数，其中为自然对数底数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.

参考答案

时间：120分钟  满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合则∩ (  B  )

  A.  B.           

C.             D.

2.已知是的共轭复数，则 (  D  )

3.设向量，，，且，则 (  A  )

4.的展开式中的系数是 (  B  )

5．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 ( B )

A．里          B．里            C．里             D．里

6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ C ）

   A.               B.                 C.                  D.

7．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时，，则f(6)=(  D  )

A．−2        B．−1         C．0         D．2

8．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是(  D  )

A．            B．           C．          D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9． 对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为 (  BD   )  

A．若a>b，则   B．若a>b，则

C．若a>0>b，则a2<－ab  D．若c>a>b>0，则>

10. 已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是 (  AC  )  

的方程为                的离心率为        

曲线经过的一个焦点      直线与有两个公共点

11．将函数图象向右平移个单位得函数的图像．则下列命题中正确的是 (  AC  )  

A．在上单调递增   B．函数的图象关于直线对称

C．       D．函数的图像关于点对称

12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，以下结论正确的有 (  ABC  )  

A．AC⊥BE；                B．点A到ΔBEF的距离为定值

C．三棱锥A－BEF的体积是正方体体积的；

D．异面直线AE，BF所成的角为定值．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如果角的终边过点，那么等于______________.

14．设，则的最小值为______________.

15. 已知直线与圆心为的圆相交于、两点，且为等边三角形，则实数            .

16. 已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是___________;三棱锥的外接球的表面积是__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

解：（1）由已知得，故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因为，所以．

（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

．

18.已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前项和．

【解析】（Ⅰ）由=，得

当=1时，；

当2时，，.

由，得，.

（Ⅱ）由（1）知，

所以，

，

，．

19.如图，直三棱柱中，分别是的中点，

（Ⅰ）证明：//平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，

因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，

平面，所以 //平面；

（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，

所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、

为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则、、、，

，，，

，设平面的法向量为，

则且，可解得，令，得平面的

一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，

则，所以，所以二面角D--E的正弦值为．

20.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：

（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：

（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？

附：，，，.

【详解】解：（1），

，，，，

所以对的回归直线方程为：．

（2）设获得的利润为，，

因为二次函数的开口向下，所以当时，取最大值，

所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．

21.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若，求l的方程；

（2）若，求．

解析 设直线．

（1）由题设得，故，由题设可得．

由，可得，则．

从而，得．所以的方程为．

（2）由可得．

由，可得．

所以．从而，故．

代入的方程得．故．

22.已知函数，其中为自然对数底数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；

（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.

解：（1）当时，，，，

∴函数在点处的切线方程为，即．   

（2）∵，

①当时，，函数在上单调递增；

②当时，由得，

∴时，，单调递减；时，，单调递增．  

综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，

∴不可能恒成立；

当时，，此时；

当时，由函数对任意都成立，得，

∵，∴ ∴， 

设，∴ ，

由于，令，得，，

当时，，单调递增；时，，单调递减．

∴，即的最大值为，此时．