【数学】广西桂林十八中2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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注意事项：
① 试卷共4页，答题卡2页。考试时间120分钟,满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
② 请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题。每小题只有一个选项符合题意。每小题5分，共60分）
1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B．8 C．9 D．
3.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了了解该年级学生的健康情况。从男生中抽取25人，从女生中抽取20人进行调查，这种抽样方法是
A．简单随机抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
4．已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）
A．7 B．－4 C．－7 D．4
5．已知随机变量服从正态分布，如果，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：
1 | 2 | 3 | 4 | |
0.1 | 3.1 | 4 |
则（ ）
A．0.8 B．1.8 C．0.6 D．1.6
7．记，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．129 D．2188
8．已知，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中说法正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列，，，，…，． ①
第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，．
则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，
使得，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
11．已知，
则的值为
A． B． C． D．
12．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（本卷共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13.观察下列不等式
照此规律，第5个不等式是__________．
14.__________．
15.一并排座位有10个，3人就坐，则每人左右两边都有空位的坐法有_________种（用数字
作答）
16.已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有
成立，且是奇函数，则不等式的
解集是
三、解答题：（本题包括6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围．
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若+=1，求的取值范围．
19．（12分）某年，楼市火爆，特别是一线城市．某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．
（l）求每个家庭能中签的概率；
（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望．
20．（12分）如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正切值．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点、，P为椭圆E上的动点，，面积最大值为．
（1）求圆O与椭圆E的方程；
（2）圆的切线l交椭圆于点A,B，求的取值范围．
22．（12分）已知定义在区间上的函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求t的取值范围．
参考答案
一、 选择题：（每小题5分，共60分）
1-12、DBDBA BCCAB AA
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13. 14.1. 15. 120. 16.
三、解答题：（本题包括6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 解：（1）因为，
所以当时，由得；
当时，由得；
当时，由得．
综上，的解集为．
（2）由得，
因为，当且仅当取等号，
所以当时，取得最小值5．
所以当时，取得最小值5，
故，即的取值范围为．
18. 解：（1）由已知得，
即有，
因为，∴．又，∴．
又，∴，∴，
（2）由余弦定理，有．
因为，，
有，又，于是有，即有．
19. 解：（1）因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，
所以每个家庭能中签的概率．
（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，
，，，
的分布列为
的数学期望．
20. 解：（1）依题意，在等腰梯形中，，，
∵，∴，即，
∵平面平面，∴平面，
而平面，∴．
连接，∵四边形是菱形，∴，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．
所以由平面几何易知，∵平面平面，∴平面．
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，．
设平面和平面的法向量分别为，，
∵，．
∴由，令，则，
同理，求得．
∴，故二面角的平面角的正切值为
21. 解：（1）由题意得，解得：①·
因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，；
设，则，所以，当时，
，代入①解得，所以，，
所以，圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去可得，
，，，
；·
令，则，所以，，
所以，所以．
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，
综上，的取值范围是．
22. 解：（1），
①当时，．即是上的增函数．
②当时，，令得，
则的增区间为，减区间为．
（2）由不等式，恒成立，得不等式，恒成立．
①当时，由（1）知是上的增函数，，
即当时，不等式，恒成立．
②当时，，，，．
令，则，．
，·
要使不等式，恒成立，
只要．
令，．
．
是上的减函数，又，
，则，即，解得，故，
综合①，②得，即的取值范围是．
