【数学】河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估（理） 试卷

 参考答案一、选择题1---6 BACBCC    7------12 DDABDA二、填空题      2             14.      -6               15.              16.    (364也对）  三、解答题17证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.-------------------------5分（2）因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，因为2ab≤a2＋b2, 2bc≤b2＋c2, 2ac≤a2＋c2，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥.--------------------10分18.解　(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，-------------2分 由得 0＜x＜e；由得x＞e.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．所以，--------------------------------5分(2)①当即0＜m≤时，函数f(x)在区间[m,2m]上单调递增，所以f(x)max＝f(2m)＝－1；------------------------------------7分②当m＜e＜2m，即＜m＜e时，函数f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e,2m)上单调递减，所以f(x)max＝f(e)＝－1＝－1；--------------------------------9分③当m≥e时，函数f(x)在区间[m,2m]上单调递减，所以f(x)max＝f(m)＝－1.      --------------------------------11分综上所述，当0＜m≤时，f(x)max＝－1；当＜m＜e时，f(x)max＝－1；当m≥e时，f(x)max＝－1.-------------------------------12分19．证明：（1）所以，时，等式成立。-----------------------------------------3分（2）假设当时，等式成立，即。----------------------5分那么，当时，---------------7分所以：当等式也成立。                      ---------------------------------------------10分综上可知，要证明的等式，当时成立。------12分20.解：（1）设交于点，过作，垂足为， 在中，，，……………………………2分在中，，………………………………4分所以，  ……………………5分（2）要使侧面积最大，由（1）得：设                ……………………6分           则，由得：当时，，当时，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，…………8分所以在时取得极大值，也是最大值；所以当时，侧面积取得最大值，          …………………………10分此时等腰三角形的腰长答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………1221．解：（1），．因此曲线在点处的切线方程是．--------------------4分（2）方法一：当时，．令，则．-------------------------8分当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．--------------------------------------12分方法二：由(1)知:=因为，所以，所以。令--------------6分所以在上单调递减，在上单调递增。当时，，所以当时，在上单调递减，在上单调递增。所以。------------------------------------------------------8分要证-----------------------------------------9分令，所以-------------10分所以在上单调递增。所以故综上所述，当----------------------------------------12分22．解：（1）.当时，，当时，所以--------------------------------4分(2)根据题意令，解得，或因为，所以，且所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减-----------7分因为，所以在上有且只有1个零点---------------------8分又在上单调递减，所以     -----------------9分当时，，所以，又函数在上单调递增所以     ----------------------------------11分 故当时，函数有2个零点--------------------------12分