高中数学1.2.3 充分条件、必要条件优秀第1课时学案设计

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第一课时 充分条件、必要条件(一)








知识点 充分条件、必要条件


1.充分条件、必要条件的相关概念


(1)若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p不可以推出q，记作p⇒/_q，读作“p推不出q”.


(2)充分条件、必要条件


当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p⇒/_q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.


(3)同一逻辑关系的四种表达形式


①“如果p，那么q”是真命题，


②p⇒q，


③p是q的充分条件，


④q是p的必要条件.


2.用集合间的关系判断充分条件、必要条件


一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B，那么p(x)⇒q(x)，因此也就有p(x)是q(x)的充分条件，q(x)是p(x)的必要条件.


[微体验]


1.思考辨析


(1)已知p⇒q，则“若p，则q”是真命题.( )


(2)已知p⇒q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.( )


(3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立.( )[来源:学+科+网]


(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”.( )


答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√


2.“x>0”是“x≠0”的( )


A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件


C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确


A [当x>0时一定有x≠0；反之，若x≠0，则不一定有x>0，故“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.]


3.“a>0，b>0”是“ab>0”的__________条件.(填“充分”或“必要”)


充分 [若“a>0，b>0”则必有“ab>0”；反之，若“ab>0”，则不一定有“a>0，b>0”，“a>0，b>0”是“ab>0”的充分条件.]


4.“若p, 则q”的逆命题为真， 则p是q的________条件.(填“充分”或“必要”)


答案 必要








探究一 充分条件与必要条件的判断


(1)已知p：x＞1，q：x＞2，则p是q的( )[来源:Z|xx|k.Cm]


A.充分条件 B.必要条件


C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确


(2)判断下列各题中p是q的什么条件.


①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；


②p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形.


(1)B [因为x＞1⇒/x＞2，但x＞2⇒x＞1，所以p⇒/q，但q⇒p，所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.]


(2)解 ①由a2＋b2＝0，得a＝b＝0.从而可以推出a＋b＝0.而由a＋b＝0推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝－1)，所以p是q的充分条件，但不是必要条件.


②由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”.而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件.


[方法总结]


充分条件、必要条件的两种判断方法


(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论.


②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.


③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.


(2)集合法：根据p，q成立的对象构成的集合间的包含关系判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.


[跟踪训练1] 已知条件p：x>1或x<－3，条件q：2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


A [法一(定义法)：由于p：x>1或x<－3，q：2

法二(集合法)：由于p：A＝{x| x>1或x<－3}，q：B＝{x|2

探究二 充分条件、必要条件的应用


是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.


解 4x＋p＜0⇒x＜－eq \f(p,4).


当－eq \f(p,4)≤－1时，即p≥4时，x＜－eq \f(p,4)≤－1，


⇒x＜－1⇒x＞2或x＜－1.


故当p≥4时，“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件.[来源:]


[变式探究] 本例若换为：是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由.


解 由于x2－x－2＞0⇒/4x＋p＜0，所以不存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的必要条件.


[方法总结]


充分条件与必要条件的应用技巧


(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.


(2)求解步骤：首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式(组)，再进行求解.


[跟踪训练2] 已知p：－2≤x≤10；q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.


解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0).


因为p是q的必要条件，所以q是p的充分条件，


即{x|1－m≤x≤1＋m}⊆{x|－2≤x≤10}，


故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m≤10.))解得m≤3.


又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.








1.判断充分、必要条件的方法


判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断.


2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.








课时作业(七) 充分条件、必要条件(一)





1.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )


A.充分条件


B.必要条件


C.既不是充分条件也不是必要条件


D.无法判断


A [当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件.]


2.“x为无理数”是“x2为无理数”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充分条件 D.既不充分也不必要条件


B [当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数.]


3.使x＞1成立的一个必要条件是( )


A.x＞0 B.x＞3


C.x＞2 D.x＜2


A [只有x＞1⇒x＞0，其他选项均不可由x＞1推出.]


4.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是( )


A.x＋y＝2 B.x＋y＞2


C.x2＋y2＞2 D.xy＞1


B [对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立，也不符合题意.]


5.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )


A.充分条件


B.必要条件


C.既是充分条件又是必要条件


D.既不是充分条件也不是必要条件


C [A∪B＝{x∈R|x＜0，或x＞2}，因为A∪B＝C，所以x∈A∪B⇒x∈C，且x∈C⇒x∈A∪B，所以x∈A∪B是x∈C的充分条件，同时也是必要条件.]


6.(多空题)已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件.(填“充分”或“必要”)


充分 必要 [因为A⊆B，由子集的定义知x∈A⇒x∈B，故“x∈A”是“x∈B”的充分条件；“x∈B”是“x∈A”的必要条件.]


7.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是________________.


a≤1 [因为x＞1⇒x＞a，所以a≤1.]


8.已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的________条件.(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)


充分不必要 [x＝3⇒x2＝9，x2＝9⇒/x＝3，故p是q的充分不必要条件.]


9.判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由.


解 p是q的充分条件.


因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；


q：x≥－1或x≤5就是实数集R.


所以pR，也就是p⇒q，


故p是q的充分条件.


10.分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由.


(1)p：a是整数，q：a是自然数；


(2)p：a是素数，q：a不是偶数.


解 (1)由于p：a是整数⇒/q：a是自然数，p：a是整数⇐q：a是自然数，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件.


(2)由于p：a是素数⇔/q：a不是偶数，所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件.





1.已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )


A.m≥2 B.m≤2


C.m＞2 D.－2＜m＜2


A [因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.]


2.已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________.


－1≤a≤5 [因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1,a＋4≥3))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤5,a≥－1))，所以－1≤a≤5.]


3.设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“eq \f(x,y)＞1”的________条件(填“充分”“必要”).


充分 [由eq \f(x,y)＞1⇒eq \f(x－y,y)＞0⇒x＞y＞0或x＜y＜0.因此“x＞y＞0”能推断“eq \f(x,y)＞1”.][来源:Z§xx§k.Cm]


4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：


(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的____________.


(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的____________.


(1)必要条件 (2)充分条件 [(1)当方程有实根时，有Δ＝b2－4ac≥0，推不出ac＜0，当ac＜0时，Δ＝b2－4ac＞0一定成立，所以方程一定有实根.


(2)全等三角形一定相似，并且相似比为1，但相似三角形不一定全等.]


5.下列命题中，判断p是q的什么条件.


(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；


(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；


(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形.


解 (1)因为|x|＝|y|⇒/x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，


所以p是q的必要条件，但不是充分条件.


(2)△ABC是直角三角形⇒/△ABC是等腰三角形.


△ABC是等腰三角形⇒/△ABC是直角三角形.


所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.


(3)四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形.


四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分.


所以p是q的必要条件，但不是充分条件.


6.(拓广探索)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3，是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x1＋x2＞6，,x1x2＞9))的一个充分不必要条件.


证明 先证充分性：由于方程的两根都大于3，即x1＞3，x2＞3，


可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x1＋x2＞6，,x1x2＞9))成立.


再证不必要性：若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ≥0，,x1＋x2＞6，,x1x2＞9))成立，不一定推出两根都大于3.如：x1＝1，x2＝10时，x1＋x2＞6，x1x2＞9，但x1＞3不成立，从而原命题得证.


课程标准
学科素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
通过对充分条件与必要条件的学习，提升“逻辑推理”“数学抽象”的核心素养.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解性质定理与充分条件的关系.