□高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式(检测)

□高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式

一、必备公式

1．通项an与前n项和Sn的关系是：an＝             .

2．等差数列有关公式：

(1)通项公式：an＝             ；    (2)前n项和公式：Sn＝            ＝               .

3．等比数列有关公式：

(1)通项公式：an＝           ；    (2)前n项和公式：Sn＝                   .

4．基本不等式：              ；

(1)基本不等式成立的条件：          ；     (2)等号成立的条件：当且仅当         .

(3)基本不等式的变形：①a＋b≥     ，常用于求和的最小值；②ab≤        ，常用于求积的最大值；

5．常用不等式：

(1)重要不等式：a2＋b2≥        (a，b∈R)； (2)重要不等式链：         ≥ ≥       ≥；

二、必备结论

1．等差数列常用结论：

若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：

(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则                 ，特别地，若p＋q＝2k，则                ；

(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为      的等差数列；

(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为         的等差数列；

(4)数列{}是公差为      的等差数列，其通项公式＝n＋；

2．等差数列与函数关系：

(1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为        函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)；

(2)经整理Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无      的     函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．

3．等比数列常用结论：

若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有：

(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则                 ，特别地，若p＋q＝2k，则            ；

(2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为         数列，公比为       .

(3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成         数列，其公比为__   __.

4．利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最    值是      (简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最    值是      (简记：和定积最大)．

注意：使用基本不等式求最值，“一     ”“二      ”“三      ”三个条件缺一不可．

三、必备方法

1．数列通项公式的几种求法：

(1)利用an与Sn的关系：递推作差，具体步骤如下：

①先利用a1＝S1求出a1；  ②利用an＝        (n≥2)求an；  ③检验a1否符合an的表达式．

(2)       法：形如an＝an－1＋f(n)或an－an－1＝f(n)，用累加法求an；

(3)       法：形如an＝an－1·f(n)或＝f(n)，用累加法求an；

(4)配凑构造等比数列：形如                (A≠0且A≠1)，用配凑法求an，具体步骤如下：

①设：an＋1＋x＝A(an＋x)；  ②求：x＝       ；  ③配：an＋1＋＝A(an＋)．

(5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况：

①形如an＋1＝ (A，B为常数)，等号两边同时取        ，即可构造{}等差；

②形如an＋1－an＋Aan＋1·an＝0，等号两边同时除以           ，即可构造{}等差.

2．数列前n项和的几种求法：

(1)        法：形如an＝等差±等比±其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减；

(2)裂项相消法：常用的裂项公式有：

①＝－；   ②＝              ；  ③＝             ；

④＝                ；   ⑤＝×＝×[－]

(3)         法：形如an＝等差×等比，用错位相减法求解．

(4)         法：形如an＝(－1)n·f(n)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解．．

3．等差数列的题型和常用方法：

(1)等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接        ”，即证an＋1－an＝定值；

②等差中项法：即证2an＋1＝            ；   ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为         的二次函数.

(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：

①函数法：利用等差数列前n项和Sn＝an2＋bn，通过        或借助图象求二次函数最值的方法求解．

②正负分界法：即通过an≥0(≤0)找到an正负分界处，判断得出最大的前n项和为Sn，具体如下：

Ⅰ.当a1>0，d<0且满足时，S m最    ； Ⅱ.当a1<0，d>0且满足时， S m最    .

4．等比数列的判定方法：

(1)定义法：“欲证等比，直接      ”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；

(2)等比中项法：即证a＝               (anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．

5．不等式恒成立的常用方法

(1)形如f(x)≥0在x∈R上恒成立：用        法；

注意：①讨论二次项系数是否等于     ；  ②要把不等式化成≥0或≤0的形式．

(2)形如f(x)≥m在x∈[a，b]上恒成立：①优选：     法，即f(x)min≥m或f(x)max≤m； ②次选：讨论图像法；

(3)形如f(x)≥0在参数m∈[a，b] 上恒成立：用              法，即把f(x)看成函数g(m)．

6．基本不等式求最值常用方法：

(1)“    ”字代换法；   (2)配凑法：即配凑积或和为定值的形式；   (3)解不等式法；

7．线性规划是常见的目标函数：

(1)截距型：形如z＝ax＋by，通常转化为斜截式：y＝－x＋，通过求截距的最值间接求出z的最值．

(2)       型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.  (3)      型：形如z＝.

四、必备细节

1．由an＝Sn－Sn－1求得的an是从n＝2开始的，一定要对n＝     时的情况进行验证．

2．在运用等比数列Sn时，必须注意对      与     分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

3．使用基本不等式求        ，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．