□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量

一、必备公式

1．三角函数

(1)同角三角函数

①平方关系： sin2 α＋cos2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系：  ＝tan α  (又叫切弦互化式)；

(2)和差倍角关系

①cos(α±β)＝_____ cos αcos βsin αsin β___；   ②sin(α±β)＝_____ sin αcos β±cos αsin β____；

③tan(α±β)＝              ；   ④sin 2α＝____2sin αcos α__；

⑤cos 2α＝        cos2α－sin2α         ＝    1－2sin2α    ＝     2cos2α－1    ；

⑥tan 2α＝__________________；

(3)辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)   ，其中，   tanφ＝   ，  |φ|＜   ，   a＞0   ．

2．正余弦定理

(1)正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 ；

注意：正弦定理变式与性质：

①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ②正弦化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝；

③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；    ④＝  2R  ；

(2)余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccos_A；  ②b2＝c2＋a2－2cacos_B；  ③c2＝a2＋b2－2abcos_C

注意：变式：①cos A＝；   ②cos B＝；   ③cos C＝

(3)三角形面积 ：①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝   ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)

3．平面向量：

(1)两点间向量表示：若A(x1，y1)、B(x2，y­2)，则＝   (x2－x1，y2－y1)   ；

(2)向量运算公式：若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2) ，则：

①a±b＝    (x1±x2，y1±y2)    ；     ②λa＝      (λx1，λy1)       ；

③a·b＝  |a||b|cos θ   ＝     x1x2＋y1y2    ；  ④|a|＝          ＝           ；

⑤cos〈a，b〉＝     ＝     ； ⑥a在b方向上的投影为： |a|cos θ   ＝      ；

(3)平行与垂直定理：

①共线定理：a∥b⇔___ a＝λb___⇔___ x1y2＝x2y1 _； ②垂直定理：a⊥b⇔___a·b＝0___⇔__ x1x2＋y1y2＝0_.

二、必备结论

1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦

2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限；   ②原则：负化正、大化小、小化锐；

3．函数y＝tan x的定义域是：{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}

4．形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质

(1)图像变换：

①相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位；

②周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的||倍；

③振幅变换： y＝sin (ωx＋φ) →y＝Asin(ωx＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍；

注意：y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移||个单位；

(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合”  ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减

(3)周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝  ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝.

(3)对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解．

①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；

②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；

(4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握

①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

5．平面向量：

①是与a同方向的单位向量．

②共线第二定理：若A、B、C三点共线⇔＝x＋y且x＋y＝1．

6．平面向量与三角形的心：①＋＋＝0⇔点O为△ABC的重心(中线交点)；

②·＝·＝·⇔点O是△ABC的垂心(高线交点)

③若动点P满足＝＋λ，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心(角平分线交点)．

7．三角形中：①sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；  ②sin ＝cos ，  cos＝sin；

③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；     ④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cosA＜cosB．

三、必备方法

1．三角函数求值、化简时，常用方法有：

(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x＝；②降次数：公式cos2α＝，sin2α＝；

(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的变形、转化；

(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan；

(4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－等

2．换元法：即整体思想，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．

3．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：

(1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.

(2)通过周期公式求ω：即ω＝.     (3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”；

四、必备细节

1．角度制与弧度制不可混合使用；

2．利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域求解时，由内向外，先求t＝ωx＋φ的范围，再结合y＝sin t的图像；

4．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．

5．平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性．(2)平行向量所在直线不一定平行．

(3)向量平移后，起终点坐标改变，但向量坐标不变．

2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．