□高考必备公式、结论、方法、细节五：直线方程与圆的方程 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节五：直线方程与圆的方程

一、必备公式

1．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

2．直线方程的五种形式

3．几种距离公式

(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝.

4．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

5．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

该方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.

6．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．

(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．

7．圆与圆的位置关系：设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).则：

d>r1＋r2⇔外离； d＝r1＋r2⇔外切； |r1－r2|<d<r1＋r2⇔相交； d＝|r1－r2|⇔内切； 0≤d<|r1－r2|⇔内含

二、必备结论

1．斜率与倾斜角的关系：由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；

②当α＝时，斜率不存在，但直线存在；  ③当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大．

2．两条直线的位置关系

(1)斜截式判断法：

①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：

(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：

①l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1；   ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

3．直线系方程：

(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；

(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；

(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.

4．点与圆的位置关系

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)，则有：

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＝0；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2， x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＞0；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2， x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＜0.

5．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：

①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；  ②用圆M的方程减去圆C的方程即得；

6．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

7．常用口诀：①直线带参，必过定点；   ②弦长问题，用勾股.

三、必备方法

1．直线的对称问题：

(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组；

(2)线关于线对称：①求交点； ②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；  ③两点定线即可.

(3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变.

2．直线与圆的相关问题：

(1)切线问题：一般设直线点斜式(讨论斜率存在)，然后依据d＝r列方程求解；

(2)弦长问题：用勾股，即圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则根据勾股得2＝r2－d2；

3．轨迹求法：

①直译法：直接根据题目提供的动点条件，直接列出方程，化简可得；

②几何法：根据动点满足的几何特征，判断其轨迹类型，然后根据轨迹定义直接写出方程．

③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

四、必备细节

1．任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．

2．与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：

(1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论斜率存在性；

(2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过原点(过原点的直线x，y轴截距均为0)．

注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零．

3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应：先化直线方程为一般式．

(2)求两平行线之间的距离时，应：先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

4．过一点求圆切线要注意：

(1)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；

(2)过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．