□高考必备公式、结论、方法、细节一：函数的概念、性质及应用 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节一：函数的概念、性质及应用

一、必备公式

1．指数运算公式(a>0且a≠1)：

①a＝       ②am·an＝am＋n   ③am÷an＝am－n   ④(am)n＝amn.

2．对数运算公式(a>0且a≠1，M>0，N>0)

(1)指对互化：    x＝logbN    .

(2)对数的运算法则：

①loga(MN)＝logaM＋logaN      ②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)；      ④logamMn＝logaM．

(3)对数的性质：①a＝  N  ；    ②logaaN＝  N  (a>0且a≠1)．

(4)对数的重要公式

①换底公式：logbN＝；     ②换底推广：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad.

3．二次函数公式

①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝a＋.  ②顶点是，对称轴是：x＝－.

③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝

二、必备结论

1．单调性

(1)单调性的运算关系：

①一般认为，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；

(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：

①>0⇔f(x)是[a,b]上的  增函数  ；    ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；

(3)复合函数单调性结论：    同增异减  ．

2．奇偶性

(1)奇偶函数的性质

①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反；

②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；

③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ；

(2)奇偶性的判定

①“奇±奇”是奇  ，“偶±偶”是   偶   ，“奇×/÷奇”是  偶    ，“偶×/÷偶”是   偶   ，“奇×/÷偶”是   奇   ；

②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；  ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．

(2)常见奇函数

①f(x)＝    ②f(x)＝loga  ③f(x)＝g(x)－g(－x)    ④f(x)＝loga(＋x)

当然，还有f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等；

3．对称性与周期性

(1)对称性：

①f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称；  ②f(2a－x)＝f(x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)周期性：①若f(x＋a)＝f(x－b) ⇔f(x)周期为T＝a＋b.

②常见的周期函数有：

f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.

4．图形变换

(1)平移变换：上加下减，左加右减

(2)对称变换

①y＝f(x) y＝－f(x)；   ②y＝f(x) y＝f(－x)；

③y＝f(x) y＝－f(－x)；   ④y＝ax (a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)．

⑤y＝f(x) y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x) y＝f(|x|)．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)y＝f(ax) ②y＝f(x) y＝af(x)

三、必备方法

1．解析式：

① 待定系数法 ：针对已知函数类型；    ② 换元法或配凑法 ：针对复合函数；

③ 方程组法 ：针对f(x)与f()或f(－x)形成的表达式  ④ 转换范围法 ：针对由已知区间求未知区间的表达式

2．值域：

①二次函数求值域用：配方法；

②分式函数求值域，若分子与分母同次用：分离常数法，若分子与分母不同次用：上下同除法.

③二次根式函数求值域用：换元法.
当然还有单调性法和导数法。

3．大小比较

(1)指数幂比较大小

①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；  ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；

③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.

(2)对数比较大小

①同底数对数比较，用单调性比较；    ②同真数对数比较，画图像比较；

③不同底也真对数比较，借助媒介“0和1”.

(3)对数与指数之间比较，一般借助媒介“0和1” .

注意：①无理数e≈2.718； ②ln2≈0.7，ln3≈1.1；

4．特殊函数

(1)复合函数

①复合定义域：设内函数为t，可求得f(t) 的定义域； ②复合值域：由内向外；

③解析式：换元法、配凑法；  ④复合单调：同增异减；  ⑤复合方程：换元法，即设内函数为t；

(2)分段函数

①分段定义域：各段定义域的并集；    ②分段值域：各段值域的并集；

③分段函数求单调区间、值域一般用：数形结合； ④分段函数解方程、不等式一般用：分类讨论.

(3)绝对值函数

①讨论分段，然后数形结合；      ②翻折变换，然后数形结合.

(4)对勾函数问题：一般都是数形结合.

5．零点转化思想

①f(x)的零点⇔方程f(x)=0 的根⇔ f(x)图象与x轴交点横坐标．

②f(x)=g(x)－h(x)的零点⇔方程g(x)=h(x)的根⇔ g(x)与h(x)的图象交点横坐标．

四、必备细节

1．解决函数问题要遵循：“定义域优先”原则；   2．单调区间：不可并；

3．奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；    4．二次项系数带参要注意：讨论是否为0；

5．图像平移或伸缩变换时：要只针对自变量x本身进行直接变换；