□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节六：圆锥曲线的性质及应用

一、必备公式

1．椭圆有关知识：

(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)

(2)椭圆标准方程和几何性质

2．双曲线有关知识

(1)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).

(2)双曲线标准方程和几何性质

3．抛物线有关知识：

(1)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

(2)抛物线的标准方程与几何性质

4．重要公式

(1)弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；  (2)韦达定理：x1＋x2＝－，x1x2＝.

二、必备结论

1．轨迹类型：方程＋＝1，当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．

2．椭圆结论：

(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan ；

②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a；  ③通径：|AC|＝ (椭圆、双曲线通用)；   图1

(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；

②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；

③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－.

(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：               图2

①点P在椭圆内⇔＋<1. ②点P在椭圆上⇔＋＝1. ③点P在椭圆外⇔＋>1.

(4)椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．

3．双曲线结论：

(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；

②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；

(2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；

图3

4．抛物线结论：

如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.

(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)；

②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)；③＋＝；

(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4

(3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．

三、必备方法

1．直线与圆锥曲线相关问题：

(1)位置关系：判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：

①Δ＞0⇔有两个交点(相交)；  ②Δ＝0⇔有一个交点(相切)；  ③Δ＜0⇔没有交点(相离)．

(2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝·| x1－x2|＝·| y1－y2|.

(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系.

2．与角有关的关联性问题：①直角(垂直)⇔数量积a·b＝0或斜率k1·k2＝－1或余弦定理cos θ＝0或点共圆；

②锐角⇔a·b＞0或余弦定理cos θ＞0；  ③钝角⇔a·b＜0或余弦定理cos θ＜0；

3．巧设直线：反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论．

4．巧设共渐近线双曲线：与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ (λ≠0)．

四、必备细节

1．易混淆：①椭圆a2＝b2＋c2，而双曲线c2＝a2＋b2； ②双曲线离心率e∈(1,＋∞)，而椭圆离心率e∈(0,1)．

2．易忽视：①椭圆、双曲线的焦点位置； ②抛物线为化成标准方程； ③设直线未讨论斜率存在性；

④解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时，忘记判别式Δ≥0这一隐含条件．