江苏省盐城市2020届高三数学第四次模拟考试试题

江苏省盐城市2020届高三数学第四次模拟考试试题2020．6第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．若集合A＝，B＝，且AB＝{m}，则实数m的值为       ．2．已知i为虚数单位，复数z满足z(3＋i)＝10，则的值为       ．3．从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为       ．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250] ．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为       天．5．执行如图所示的流程图，输出k的值为       ．                                     第4题                                                                                                                     第5题6．若双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线为，则其离心率的值为       ．7．若三棱柱ABC—A1B1C1的体积为12，点P为棱AA1上一点，则四棱锥P—BCC1B1的体积为       ．8．“＝2”是“函数的图象关于点(，0)对称”的       条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．9．在△ABC中，C＝B＋，AB＝AC，则tanB的值为       ．10．若数列的前n项和为，，则的值为       ．11．若集合P＝，Q＝，则PQ表示的曲线的长度为       ．12．若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是       ．13．在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是       ．14．若实数x，y满足4x2＋4xy＋7y2＝l，则7x2﹣4xy＋4y2的最小值是       ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）若函数(M＞0，＞0，0＜＜)的最小值是﹣2，最小正周期是2，且图象经过点N(，1)．（1）求的解析式；（2）在△ABC中，若，，求cosC的值．      16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，点E是PC的中点，且平面 PBC⊥平面ABCD．求证：（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．  17．（本小题满分14分）如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l1，l2的距离相等，点C到点O的距离约为 10千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P，新建一条道路OP，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM，PN（M，N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A，B分别在l1，l2上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计）     18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的短轴长为2，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F2的动直线与椭圆交于点P，Q，过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点．当直线AB过原点时，PF1＝3PF2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点H(3，0)，记直线PH，QH，AH，BH的斜率依次为，，，．①若，求直线PQ的斜率；②求的最小值．      19．（本小题满分16分）如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立，则称为P(k)数列．（1）若数列是P(1)数列，，，求；（2）若等差数列是P(2)数列，求数列的通项公式；（3）是否存在P(k)数列，使得，，，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列；若不存在，请说明理由．            20．（本小题满分16分）设函数．（1）若a＝0时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；（3）设函数的零点个数为m，试求m的最大值．            第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量．          B．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l：（m为实数），曲线C：，当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值．          C．选修4—5：不等式选讲已知实数x，y，z满足，求的最小值．         【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，抛物线C：(p＞0)的焦点为F，过点P(2，0)作直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时AB的长为．（1）求抛物线的方程；（2）若△APF与△BPO的面积相等，求直线l的方程．   23．（本小题满分10分）若有穷数列共有k项(k≥2)，且，，当1≤r≤k﹣1时恒成立．设．（1）求，；（2）求．              盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．      2．         3．      4．       5．          6．         7．8．充分不必要     9．     10．    11．     12．     13．       14．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．解析：（1）因为的最小值是－2，所以M＝2．          ………………………………2分因为的最小正周期是，所以，                    ………………………………4分又由的图象经过点，可得， ，所以或，k∈Z，又，所以，故，即．………………………………6分（2）由（1）知，又，，故，即，又因为△中，，所以，，…………………10分所以．        ………………………………14分16．证明：(1)设，连结， 因为底面是菱形，故为中点，又因为点是的中点，所以．                     ………………………………2分又因为平面BDE，平面BDE， 所以平面BDE．………………………………6分(2)    因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面．                                  ………………………………9分又平面，所以．∵是菱形，∴，又，，平面，平面，所以平面．                                   ………………………………12分又平面，所以平面平面．            ………………………………14分17．解析：连接CM，设，则，，，，设新建的道路长度之和为，则，……6分由得，设，，则，，，令得， …………10分设，，的情况如下表：+0-↗极大↘由表可知时有最大值，此时，，，．  ………………………………13分答：新建道路长度之和的最大值为千米．             ………………………………14分注：定义域扩展为，求出最值后验证也可.18．解析：(1)因为椭圆的短轴长为2，所以，当直线过原点时，轴，所以为直角三角形，由定义知，而，故，由得，化简得，故椭圆的方程为．                             ………………………………4分（2）①设直线，代入到椭圆方程得：，设，则，  ………………………………6分所以，化简可得，                        ………………………………10分解得：或，即为直线PQ的斜率．              ………………………………12分②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时，，当两条直线与坐标轴都不垂直时，由①知，同理可得，      ………………………………14分故，当且仅当即时取等号．综上，的最小值为．                   ………………………………16分19．解析：(1)由数列是数列得，可得．………2分(2)由是数列知恒成立，取得恒成立，当时满足题意，此时，当时，由可得，取得，设公差为，则解得或者，综上，或或，经检验均合题意．………………………………8分(3)方法一:假设存在满足条件的数列，不妨设该等比数列的公比为，则有，可得，①，可得，②综上①②可得，                          ………………………………10分故，代入得，则当时，…………12分又，当时，不妨设，且为奇数，由，而，所以，，，综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分方法二:同方法一得，当时，当时，，而，，故，以下同方法一．方法三:假设存在满足条件的数列，显然的所有项及k均不为零，，不妨设该等比数列的公比为，当时，，，两式相除可得，故当时也为等比数列，                       ………………………………10分故，则，，由得，且当时，                                     ………………………………12分则，，∴，∴，故当时，综上，满足条件的数列有无穷多个，其通项公式为．………………………………16分20．解析：（1）当时，，所以，…1分由得，当时，；当时，，所以函数的单调增区间为．                                      ……3分（2）由题意得，令，则，当即时，恒成立，得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；当即时，此时恒成立，在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；当即或时，易得在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点；                                                         ……6分当时，解得或（舍），当时，设的两个零点为，所以，不妨设，又，所以，故，当时，；当时，；当时，；当时，；∴在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；所以是函数极大值点.综上所述．                                                      ……10分（3）①由（2）知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数至多有两个零点，欲使有两个零点，需，得，此时，，当时，，此时函数在上恰有1个零点；              ……12分又当时，，由（1）知在上单调递增，所以，故此时函数在恰有1个零点；由此可知当时，函数有两个零点．                               ……14分②当时，由（2）知在上递减，在上递增，在上递减，在上递增；而，所以，此时函数也至多有两个零点.综上①②所述，函数的零点个数的最大值为2．                      ……16分 附加题答案21A．解：由题意知，所以，即，…………4分所以矩阵的特征多项式，由，解得或，                                  …………8分当时，，令，则，所以矩阵的另一个特征值为，对应的一个特征向量为．         …………10分21B．解：由题意知直线的直角坐标方程为，             …………2分又曲线的极坐标方程，即，所以曲线的直角坐标方程为，所以曲线是圆心为的圆，                                       …………8分当直线被曲线截得的弦长最大时，得，解得．     …………10分21C．解：由柯西不等式有，     …………6分所以(当且仅当即，时取等号)，       …………8分所以的最小值是．                                         …………10分22．解：（1）当直线与轴垂直时的长为，又，取，…………1分所以，解得，所以抛物线的方程为．            …………2分（2）由题意知，，因，所以，                                      …………4分当时，直线与抛物线不存在两个交点，所以，故设直线的方程为，代入抛物线方程得， 所以，，                                       …………6分当时，，，所以，，所以，直线的方程为，                          …………8分当时，同理可得直线的方程为，           综上所述，直线的方程为．                            …………10分23．解：（1）当时，，由，得，，  ……1分当时，或，由，得，由，得，．                         …………3分（2）因，由累乘法得，所以，     ………5分所以，                                         ………6分当时，也适合，所以，                     ………8分即，所以．                            ………10分