2021高考数学大一轮复习考点规范练12函数与方程理新人教A版

考点规范练12　函数与方程

　考点规范练B册第7页　 

基础巩固

1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A,0 B.-2,0 C D.0

答案:D

解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;

当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,

又因为x>1,所以此时方程无解.

综上可知函数f(x)的零点只有0,故选D.

2.函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在区间为(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

答案:B

解析:函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点.

∵f(x)在区间(0,+∞)内是图象连续的,且f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln3->0,∴f(x)的零点所在区间为(1,2).

故选B.

3.(2019北京西城区模拟)若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

答案:C

解析:由题意可知,f(x)=2x--a在区间(1,2)内单调递增,又f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,故(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0.解得0<a<3.

4.若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),内,则与f(0)符号相同的是(　　)

A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f

答案:C

解析:本题实质考查二分法.由题意知f(x)的零点在区间内,可知f(0)与f(1)符号相同.

5.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点(　　)

A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1 

C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1

答案:C

解析:由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.

6.函数f(x)=sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

答案:C

解析:令f(x)=0,得πcosx=kπ(k∈Z)⇒cosx=k(k∈Z),所以k=0,1,-1.

若k=0,则x=或x=;

若k=1,则x=0或x=2π;

若k=-1,则x=π.

故零点个数为5.

7.(2019河南郑州质量测试)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,1]

答案:A

解析:画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在区间(-∞,0]和(0,+∞)内各有一个零点.当x≤0时,要使f(x)有一个零点,则需即0<a≤1;当x>0时,要使f(x)有一个零点,则需-a<0,即a>0.

综上,0<a≤1.

8.已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=在区间[0,4]上解的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:由f(x-1)=f(x+1),可知函数f(x)的周期T=2.

∵x∈[0,1]时,f(x)=x,

又f(x)是偶函数,∴f(x)的图象与y=的图象如图所示.

由图象可知f(x)=在区间[0,4]上解的个数是4.故选D.

9.(2019安徽安庆摸底)若函数f(x)=4x-2x-a在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:∵函数f(x)=4x-2x-a在区间[-1,1]上有零点,

∴方程4x-2x-a=0在区间[-1,1]上有解,

∴a=4x-2x=在区间[-1,1]上有解.

∵x∈[-1,1],∴2x,∴a

故实数a的取值范围是

10.(2019吉林实验中学模拟)已知关于x的方程|2x-10|=a有两个不同的实根x1,x2,且x2=2x1,则实数a=　　　　. 

答案:6

解析:∵关于x的方程|2x-10|=a有两个不同的实根x1,x2,且x2=2x1,

-10=a,10-=a,=10+a,=10-a,

∴10+a=(10-a)2,解得a=6或a=15(舍去).

11.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案:(0,1)

解析:因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).

12.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是　　　　　　　　. 

答案:x1<x2<x3

解析:令y1=2x,y2=lnx,y3=--1,y=-x,∵函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,即为函数y1=2x,y2=lnx,y3=--1与函数y=-x交点的横坐标,分别作出函数的图象,结合图象可得x1<x2<x3.

能力提升

13.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是(　　)

A.1<x1<2,x1+x2<2 B.1<x1<2,x1+x2<1

C.x1>1,x1+x2<2 D.x1>1,x1+x2<1

答案:A

解析:函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图),可知1<x1<2.

当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.

14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为(　　)

A.8 B.-8 C.0 D.-4

答案:B

解析:∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),

∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.

∴函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.

∵f(x)在区间[0,2]上为增函数,

∴f(x)在区间[-2,0]上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.

由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.

15.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(　　)

A.f(a)<f(1)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(1) 

C.f(1)<f(a)<f(b) D.f(b)<f(1)<f(a)

答案:A

解析:由题意,知f'(x)=ex+1>0在x∈R上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);

由题意,知g'(x)=+1>0在x∈(0,+∞)内恒成立,故函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).

综上,可得0<a<1<b<2.

因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).故选A.

16.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)

A.- B C D.1

答案:C

解析:∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]

=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)

=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),

∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.

∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,

即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=

17.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为　　　　　. 

答案:8

解析:∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x).

又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,

∴f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.

高考预测

18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x-1).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若函数y=f(x)-x-a在区间[0,2]上有三个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　　. 

答案:

解析:因为对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x).

所以函数f(x)的周期为2.

由f(x)-x-a=0,得f(x)=x+a.

又当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是定义在R上的偶函数,故可画出f(x)的示意图,如图所示.

设直线y=x+a与抛物线f(x)=x2在[0,1]之间相切于点P(x0,y0),由f'(x)=2x,可得2x0=1,解得x0=

故y0=,即P,将点P代入y=x+a,得a=-

当直线经过点O,A时,a=0.

若函数y=f(x)-x-a在区间[0,2]上有三个不同的零点,即直线y=x+a与曲线y=f(x)在区间[0,2]上恰有三个不同的公共点,则-<a<0.