2021高考数学大一轮复习考点规范练20三角函数的图象与性质理新人教A版
展开考点规范练20 三角函数的图象与性质
考点规范练B册第12页
基础巩固
1.函数y=|2sin x|的最小正周期为( )
A.π B.2π C D
答案:A
解析:由图象(图象略)知T=π.
2.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=( )
A B C D
答案:A
解析:由题意,得函数f(x)的相邻的两条对称轴分别为x==3,x==6,故函数的周期为2×(6-3)=,得ω=,故选A.
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于( )
A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0
答案:B
解析:由f=f知,函数图象关于x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.
4.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于点对称
答案:B
解析:∵函数f(x)的最小正周期为π,=π.
∴ω=2.∴f(x)=sin
∴函数f(x)图象的对称轴为2x+=kπ+,k∈Z,即x=,k∈Z.
故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.
5.(2019河北邢台模拟)函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A(k∈Z) B(k∈Z)
C(k∈Z) D(k∈Z)
答案:B
解析:由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),得<x<(k∈Z),所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).故选B.
6.已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0,则x0=( )
A B C D
答案:C
解析:由题意可知f(x)=2sin,其对称中心为(x0,0),
故2x0+=kπ(k∈Z),即x0=-(k∈Z).
又x0,故k=1,x0=,故选C.
7.(2019甘肃高台一中月考)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(其中φ是实数),若f(x)对x∈R恒成立,且f>f(0),则f(x)的单调递增区间是( )
A(k∈Z) B(k∈Z)
C(k∈Z) D(k∈Z)
答案:C
解析:由于f(x)对x∈R恒成立,故f=sin=±1,即+φ=+kπ(k∈Z),
故φ=+kπ(k∈Z).
因为f=-sinφ,f(0)=sinφ,-sinφ>sinφ,所以sinφ<0,所以φ=-+2mπ(m∈Z),
所以f(x)=sin
令2kπ-2x-2kπ+(k∈Z),
得kπ+x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为kπ+,kπ+(k∈Z).
8.(2019河南漯河高级中学二模)已知函数y=sin在区间[0,t]上至少取得2次最大值,则正整数t的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案:B
解析:函数y=sin的周期T=6,当x=0时,y=,当x=1时,y=1.因为函数y=sin在区间[0,t]上至少取得2次最大值,所以t-1≥T,即t≥7,所以正整数t的最小值为7,故选B.
9.已知函数f(x)=sin xsin(x+3θ)是奇函数,其中,则f(x)的最大值为( )
A B C.1 D
答案:A
解析:函数f(x)=sinxsin(x+3θ)是奇函数,
∵y=sinx是奇函数,∴y=sin(x+3θ)是偶函数,
∴3θ=kπ+,k∈Z.
∴θ=,f(x)=sinxsinsin2x,则f(x)的最大值为
10.(2019北京西城期末)若函数f(x)=sin(x+φ)的图象记为曲线C,则“f(0)=f(π)”是“曲线C关于直线x=对称”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:在函数f(x)=sin(x+φ)中,若f(0)=f(π),
则sinφ=sin(π+φ),所以sinφ=0,φ=kπ,k∈Z,所以曲线C关于直线x=对称,充分性成立;
若曲线C关于直线x=对称,则f(0)=f(π)成立,即必要性成立.所以“f(0)=f(π)”是“曲线C关于直线x=对称”的充要条件.故选C.
11.(2019云南昆明高三调研测试)函数f(x)=sin2x-的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 .
答案:π
解析:函数f(x)的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f(x)的最小正周期,又函数f(x)=sin的最小正周期为π,故f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且f=1,则f(x)图象的对称中心是 .
答案:(k∈Z)
解析:由题意得=4π,解得ω=,故f(x)=sin,
由f=1可得+φ=2kπ+,k∈Z,由|φ|<可得φ=,故f(x)=sin,
由x+=kπ可得x=2kπ-,k∈Z.
∴f(x)的对称中心为,k∈Z.
能力提升
13.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )
A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
答案:A
解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为,且在区间内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.
14.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,且-<φ<,则函数y=f为( )
A.奇函数,且在区间内单调递增
B.偶函数,且在区间内单调递增
C.偶函数,且在区间内单调递减
D.奇函数,且在区间内单调递减
答案:D
解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.又-<φ<,则φ=-,则y=f=cos=cos=-sin2x,所以该函数为奇函数,且在区间内单调递减,故选D.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间内单调,则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
答案:B
解析:由题意得
解得φ=+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.
∵|φ|,∴φ=或φ=-
∵f(x)在区间内单调,
,T,即,ω≤12.
∵ω>0,∴0<ω≤12.
若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.
若ω=9,则f(x)=sin在区间内单调递减,符合题意.
若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.
若ω=11,则f(x)=sin在区间内单调递增,在区间内单调递减,不符合题意.
综上,ω的最大值为9.
16.(2019山东临沂调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点之间的距离为π,若f(x)>1对任意x恒成立,则φ的取值范围是( )
A B C D
答案:D
解析:由题意可知,=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.
因为f(x)>1对任意x恒成立,即sin(2x+φ)>0对任意x恒成立,所以-+φ≥2kπ,+φ≤π+2kπ,k∈Z,所以+2kπ+2kπ,k∈Z.又|φ|,所以故选D.
高考预测
17.已知函数f(x)=sin,其中x当a=时,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是,则a的取值范围是 .
答案:
解析:若-x,则-2x+,此时-sin1,即f(x)的值域是
若-x≤a,则-2x+2a+
因为当2x+=-或2x+时,sin=-,
所以要使f(x)的值域是,则2a+,即2a≤π,所以a,
即a的取值范围是
