2021高考数学大一轮复习考点规范练24解三角形理新人教A版

考点规范练24　解三角形　考点规范练B册第14页　 基础巩固1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=(　　)A B.1 C D.2答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.在△ABC中,已知acos A=bcos B,则△ABC的形状是(　　)A.等腰三角形  B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案:D解析:∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,△ABC的面积S=,则b等于(　　)A B.4 C.3 D答案:A解析:由题意可得,2sinBcosB=sinC·cosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∴cosB=,∴B=又S=ac·sinB=1×c,∴c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4=13,∴b=4.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)A.30° B.45°C.60° D.75°答案:B解析:依题意可得AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　)A.7.5 B.7 C.6 D.5答案:D解析:∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b+a=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.(2019全国Ⅱ,理15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　. 答案:6解析:∵b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c=62,即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去).∴a=2c=4∴S△ABC=acsinB=42=67.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=sin A-sin B,则C=　　　　　. 答案:解析:在△ABC中,=sinA-sinB,=a-b.∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=C=8.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=　　　　　. 答案:解析:由题意及正弦定理,可知,即,故∠ADB=45°.所以A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=2sin60°=9.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察D点的俯角为75°,观察C点的俯角为30°;在B位置时,观察D点的俯角为45°,观察C点的俯角为60°,且AB= km,则C,D之间的距离为　　　　　. 答案: km解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°,由正弦定理可得,即,∴AD=(km),由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,∴BC=AB=km,∴AC=3km,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADsin∠DAC=5,即CD=km.10.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-4bc=3a2.(1)求sin A;(2)若3csin A=asin B,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解:(1)因为3b2+3c2-4bc=3a2,所以b2+c2-a2=bc.所以cosA=,所以sinA=(2)因为3csinA=asinB,所以3ac=ab,即b=c.因为△ABC的面积为,所以bcsinA=,即c2,解得c=2.所以b=3,a=故△ABC的周长为2+3能力提升11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(　　)A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2答案:B解析:∵b2+c2-a2=bc,∴cosA=,∴A=30°.∵b=a,∴sinB=sinA=,∴B=60°或B=120°.当B=60°时,C=90°,此时△ABC为直角三角形,得到a2+b2=c2,2a=c;当B=120°时,C=30°,此时△ABC为等腰三角形,得到a=c;故选B.12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC的面积的最大值为(　　)A.4 B.2 C.2 D答案:A解析:∵在△ABC中,,∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=,即B=由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=acsinB=ac≤4,故选A.13.(2019浙江,14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. 答案:　解析:如图所示,设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=-α,在△BDC中,由正弦定理得=3sinα=在△ABD中,由正弦定理得=4cosα=由sin2α+cos2α==1,解得x1=-(舍去),x2=BD=在△ABD中,由正弦定理得sin∠ABD=cos∠ABD=14.(2019辽宁凌源高三一模)设函数f(x)=sin+2cos2x.(1)当x时,求函数f(x)的值域;(2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=a=b,c=1+,求△ABC的面积.解:(1)由已知得,f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=sin+1.∵x,2x+,sin+1≤2.∴函数f(x)的值域为(2)∵f(A)=sin+1=,∴sin又0<A<π,<2A+,∴2A+,即A=a=b,∴由正弦定理得,sinA=sinB,∴sinB=又0<B<,∴B=sinC=sin(A+B)=由正弦定理得,=2,∴b=2.∴S△ABC=bcsinA=高考预测15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2.(1)求角A;(2)若a=2,b=2,求角C.解:(1)∵△ABC中,b2+c2-a2=4S=4bcsinA=2bcsinA,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵0<A<π,∴A=(2)∵a=2,b=2,A=,∴由得sinB=,∵0<B<,且B>A,∴B=,∴C=