2021高考数学大一轮复习考点规范练47圆的方程理新人教A版
展开考点规范练47 圆的方程
考点规范练A册第32页
基础巩固
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案:D
解析:由题意可得圆的半径r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为( )
A.2 B.1 C D
答案:B
解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=[]2=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.
3.若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是( )
A.x-y=0 B.x+y=0
C.x-y-2=0 D.x+y-2=0
答案:D
解析:因为直线OD的斜率为kOD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=-1,所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.
4.(2019广西桂林高三一模)“方程x2+y2-4y+k=0表示一个圆”是“0<k<4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:若方程x2+y2-4y+k=0表示圆,则(-4)2-4k>0,即k<4.k<40<k<4,0<k<4⇒k<4,所以k<4是0<k<4的必要不充分条件,故选B.
5.已知圆C的圆心在曲线y=上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则△OAB的面积等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案:C
解析:设圆心的坐标是
∵圆C过坐标原点,∴|OC|2=t2+,
∴圆C的方程为(x-t)2+=t2+
令x=0,得y1=0,y2=,∴点B的坐标为;
令y=0,得x1=0,x2=2t,∴点A的坐标为(2t,0),
∴S△OAB=|OA|·|OB|=|2t|=4,即△OAB的面积为4.
6.(2019黑龙江伊春三校联考)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
答案:B
解析:圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心C1为(-1,1),半径为1.易知点C1(-1,1)关于直线x-y-1=0对称的点为C2,设C2(a,b),则解得所以圆C2的圆心为C2(2,-2),半径为1,所以圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.故选B.
7.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为 ;
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 .
答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)-1-
解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),取AB中点为P,连接CP,CB,则△BPC为直角三角形,得|BC|=r==b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.
(2)由(1)得,C(1,),B(0,+1),则kBC=-1.
圆C在点B处的切线方程为y=x++1,令y=0,得x=--1,
即切线在x轴上的截距为-1-
8.直线l:=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则△OAB的内切圆的方程为 .
答案:(x-1)2+(y-1)2=1
解析:由直线方程=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,
如图.
设△OAB的内切圆的圆心为M(m,m).
直线方程=1可化简为3x+4y-12=0,
由点M到直线l的距离等于m得=m,解得m=1.
故△OAB的内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.
9.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为 .
答案:(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4
解析:设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意可得解得
所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.
10.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.
解:(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得=1,
则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,
根据已知条件得
解得
因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
能力提升
11.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
答案:D
解析:曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.
12.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是( )
A.2 B C D
答案:A
解析:如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),
设P(x,y),,
,
两边平方并整理得:x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8,
ymax=2,△PAB面积的最大值是2×2=2,故选A.
13.(2019宁夏银川模拟)方程|y|-1=表示的曲线是( )
A.一个椭圆 B.一个圆 C.两个圆 D.两个半圆
答案:D
解析:由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1.当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2,
从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0),由已知得
又P在双曲线y2-x2=1上,
从而得
由
此时,圆P的半径r=
由
此时,圆P的半径r=
故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
高考预测
15.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为 .
答案:(x-2)2+(y-1)2=5
解析:由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.
因为△OPQ为直角三角形,
所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
