2021高考数学大一轮复习考点规范练52直线与圆锥曲线理新人教A版

考点规范练52　直线与圆锥曲线

　考点规范练B册第37页　 

基础巩固

1.双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)

A B.5 C D

答案:D

解析:不妨设=1的渐近线y=x与y=x2+1只有一个交点,由

得ax2-bx+a=0,

所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,=5,e=故选D.

2.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为时,直线l在y轴上的截距的取值范围是(　　)

A B C.(2,+∞) D.(-∞,-1)

答案:A

解析:设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-

又AB的中点在直线l上,即m+1=-+b,得m=b-,将m=b-代入4+8m>0,得b>,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是

3.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±2x C.y=±2x D.y=±2x

答案:B

解析:由题意得|AB|=,

∵S△AOB=,1=,

①

∵a2+b2=1,②

解①②得a=,b=,

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x.故选B.

4.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)

A.2 B C D

答案:C

解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,

得5x2+8tx+4(t2-1)=0.

则x1+x2=-t,x1x2=

所以|AB|=|x1-x2|

=

=

=,

当t=0时,|AB|max=

5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)

A.16 B.14 C.12 D.10

答案:A

解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.

设直线l1方程为y=k1(x-1),

联立抛物线方程,得

消去y,得x2-2x-4x+=0,

所以x1+x2=

同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=

由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,

当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.

方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为

作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得

所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=

同理可得|BF|=,所以|AB|=

又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,

所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.

6.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为

由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c即可,故c的最大值为

7.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.

解:(1)由题意可得,c=2,b=2,

由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=2

故椭圆C的方程为=1.

(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),

由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,

则Δ=96-8m2>0,所以-2<m<2

x0==-,y0=x0+m=,

因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,

所以=1.解得m=±

8.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

(1)求;

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

解:(1)由已知得M(0,t),P

又N为M关于点P的对称点,

故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=

因此H所以N为OH的中点,即=2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.

理由如下:

直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,

所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.

能力提升

9.(2019广东六校第一次联考)抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为(　　)

A B C D.1

答案:A

解析:由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.

由题意知y0≥b>0.联立得整理得2x2-kx-b=0,Δ=k2+8b>0,x1+x2=,x1x2=-,则|AB|=,点M的纵坐标y0=+b.因为弦AB的长为3,所以=3,

即(1+k2)=9,故(1+4y0-4b)(y0+b)=9,

即(1+4y0-4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0-4b)+(4y0+4b)≥2=12,当且仅当时取等号,即1+8y0≥12,y0,所以点M的纵坐标的最小值为故选A.

10.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)

A B.3 C.2 D.4

答案:B

解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x,

所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.

不妨设∠OMN=90°,

则|MN|=|OM|.

又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=,

所以|MN|=3.

11.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　　. 

答案:

解析:如图,双曲线的渐近线为y=±x.

由得A

由得B

∵F为△OAB的垂心,∴kAF·kOB=-1.

即=-1,解得,

,即可得e=

12.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.

(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

解:(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).

又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.

y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.

故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.

(2)存在符合题意的点,证明如下:

设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.

将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.

故x1+x2=4k,x1x2=-4a.

从而k1+k2=

当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,

故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.

高考预测

13.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

解:(1)由题意可知

所以b=1.

所以椭圆的方程为+y2=1.

(2)是定值,定值为-

设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2),

设直线AB的方程为x=my-2m-2,

联立(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,

所以y1+y2=,y1y2=

因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t).

又Q在直线AA2上,所以t=-,

所以k1k2=

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