高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用当堂检测题

§1.3.3　函数的最大(小)值与导数

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是

A．5，－15　　　　　　　　   B．5，－4

C．－4，－15        D．5，－16

解析　∵y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，

令y′＝0，则x＝2或x＝－1(舍)．

又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故选A.

答案　A

2．函数y＝的最大值为

A．e－1         B．e

C．e2          D.

解析　y′＝＝，(x>0)

由y′＝0得x＝e，

由y′>0得0<x<e，由y′<0得x>e，

∴当x＝e时，ymax＝＝＝e－1.

答案　A

3．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为，则a等于

A．－         B.

C．－         D.或－

解析　由y＝－x2－2x＋3＝

解得x＝－或x＝－.

又函数在(－∞，－1)上单调递增，

在(－1，＋∞)上单调递减，

∴函数在(－，－1)上为增函数，

在(－1，2)上为减函数，

故a∈(－1，2)，∴a＝－.

答案　C

4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是

A．[3，＋∞)        B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)        D．(－∞，3]

解析　f′(x)＝3x2＋a，要使f(x)在[1，＋∞)上是增函数，需满足不等式3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2，x∈[1，＋∞)，∴a≥－3.

答案　B

5．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为

解析　令g(x)＝ln(1＋x)－x，则g′(x)＝－.

由g′(x)＞0得：－1＜x＜0，

由g′(x)＜0得：x＞0，故g(x)＜g(0)＝0，

从而x＞0或－1＜x＜0时均有f(x)＜0，

排除A，C，D.

答案　B

6．当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是

A．[－5，－3]        B.

C．[－6，－2]        D．[－4，－3]

解析　当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.

当x∈(0，1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，

∴a≥.

设φ(x)＝，

φ′(x)＝

＝－＝－>0，

∴φ(x)在(0，1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.∴a≥－6.

当x∈[－2，0)时，a≤，

∴a≤.

仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.

当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，

当x∈(－1，0)时，φ′(x)>0.

∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．

而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.

综上知－6≤a≤－2.

答案　C

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

解析　f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.

由题设得－2＜＜－1，故m∈(－4，－2)．

答案　(－4，－2)

8．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．

解析　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意．当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0得0＜x＜，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f＝－＋1＝0，得a＝3，所以f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.

答案　－3

9．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析　因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，

所以f′(x)＝2x3－6x2，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，

经检验知x＝3是函数的一个最小值点，

所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，

即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.

答案　m≥

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，5]上的最大值和最小值．

解析　由f(x)＝x3－ax2＋3x，得

f′(x)＝3x2－2ax＋3，根据题意，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，

即27－6a＋3＝0，解得a＝5.

经检验，a=5满足题意,

所以f(x)＝x3－5x2＋3x.

所以f′(x)＝3x2－10x＋3，令f′(x)＝0，

得x＝3或x＝(舍去)．

当1<x<3时，f′(x)<0，函数f(x)在[1，3)上是减函数；

当3<x<5时，f′(x)>0，函数f(x)在(3，5]上是增函数．

由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，这也就是函数f(x)在区间[1，5]上的最小值；

又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，故函数f(x)在[1，5]上的最大值为f(5)＝15.

综上，函数f(x)在[1，5]上的最大值为15，最小值为－9.

11．(12分)已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1，2]时，f(x)＜a恒成立，求实数a的取值范围．

解析　∵f(x)＝x3－x2－2x＋5，

∴f′(x)＝3x2－x－2.

令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，

∴x＝1或x＝－.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

∴当x＝－时，f(x)取得极大值f＝；

当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝.

又f(－1)＝，f(2)＝7.

∴f(x)在x∈[－1，2]上的最大值为f(2)＝7.

∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7.

∴所求实数a的取值范围是(7，＋∞)．

12．(13分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．

解析　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1<x2，

所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．

当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；

当x1<x<x2时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．

(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.

①当a≥4时，x2≥1.

由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增．

所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0<a<4时，x2<1.

由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减．所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．

又f(0)＝1，f(1)＝a，所以

当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；

当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；

当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．

综上所述，a≥4时，f(x)在x＝0处取最小值，在x＝1处取最大值；

1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取最小值，在x2处取最大值．

当a＝1时，f(x)在x＝0与x＝1处取最小值，在x＝x2处取最大值；

当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取最小值，在x＝x2处取最大值．