2021高考数学大一轮复习考点规范练6函数的单调性与最值理新人教A版

考点规范练6　函数的单调性与最值　考点规范练B册第4页　 基础巩固1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(　　)A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-答案:B解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(　　)A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-<0.故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.3.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)答案:B解析:由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.4.(2019天津河西区一模)函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递减区间为(　　)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(3,+∞)答案:C解析:要使函数f(x)有意义,则x2-2x-3>0,即x>3或x<-1.设u=x2-2x-3=(x-1)2-4,当x>3时,函数u=x2-2x-3单调递增;当x<-1时,函数u=x2-2x-3单调递减.因为函数y=lnu在定义域上单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1).5.函数f(x)=在(　　)A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数答案:C解析:由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},f(x)=-1.又根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)在区间(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数.6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x时,f(x)=ex+sin x,则(　　)A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(1)C.f(3)<f(2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2)答案:D解析:由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3).由f(x)=ex+sinx,得函数f(x)在内单调递增.又-<π-3<1<π-2<,∴f(π-2)>f(1)>f(π-3).∴f(2)>f(1)>f(3).7.(2019河南新乡月考)若函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)内单调递增,则f(a+2)与f(3)的大小关系为(　　)A.f(a+2)>f(3) B.f(a+2)<f(3)C.f(a+2)=f(3) D.不能确定答案:A解析:由题意可知,函数f(x)=loga|x-1|的图象关于直线x=1对称,因为f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,所以0<a<1,所以2<a+2<3.所以f(a+2)>f(3).8.已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,2] B.[2,+∞) C D答案:D解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.解得-<a≤2.∴实数a的取值范围是故选D.9.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 答案:3解析:因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.10.设函数f(x)=(1)若a=0,则f(x)的最大值为　　　　　; (2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 答案:(1)2　(2)(-∞,-1)解析:令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-,0),(0,0),(,0).又g(x)与φ(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象,如图所示.(1)当a=0时,f(x)=可知f(x)的最大值是f(-1)=2.(2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-∞,-1).能力提升11.已知函数f(x)=的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为(　　)A.-2 B.2 C.-1 D.1答案:B解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,2.∴f(x)的值域为[2,+∞).∵y1=在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.12.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)答案:D解析:由题意可得a>x-(x>0).令f(x)=x-,函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.13.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为(　　)A.[1,+∞) B.[0,] C.[0,1] D.[1,]答案:D解析:因为函数f(x)=x2-x+的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.又当x≥1时,x-1+,令g(x)=x-1+(x≥1),则g'(x)=由g'(x)≤0得1≤x,即函数x-1+在区间[1,]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,].14.已知函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　. 答案:(-∞,1]∪[4,+∞)解析:画出f(x)=的图象,如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).15.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.(1)证明当a=-2时,f(x)=(x≠-2).设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)解任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)内恒成立,∴a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].高考预测16.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)A.a≤1 B.a≥1 C.a≤0 D.a≥0答案:C解析:当x时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.