2020年山西省中考数学试卷 解析版

2020年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（　　）
A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2
2．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a6
4．（3分）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）

A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
6．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞5 B．3＜x＜5 C．x＜5 D．x＞﹣5
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
8．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆造型出会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
9．（3分）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
10．（3分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（+）2﹣＝　 　．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有　 　个三角形（用含n的代数式表示）．

13．（3分）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　 　．
14．（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　 　cm．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）．
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第　 　步是进行分式的通分，通分的依据是　 　．或填为：　 　；
②第　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．（6分）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

18．（7分）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

19．（9分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　 　亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．
20．（8分）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　 　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
21．（10分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

22．（12分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

23．（13分）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．


2020年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（　　）
A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2
【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．
【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．
故选：C．
2．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、﹣8a2÷4a＝﹣2a，故此选项错误；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，正确；
D、4a3•3a2＝12a5，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．
【解答】解：A．主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C．主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
D．主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：B．
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）

A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
【分析】根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
6．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞5 B．3＜x＜5 C．x＜5 D．x＞﹣5
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式2x﹣6＞0，得：x＞3，
解不等式4﹣x＜﹣1，得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5．
故选：A．
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据反比例函数性质，反比例函数y＝（k＜0）的图象分布在第二、四象限，则y3最小，y2最大．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＜0）的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0＜y1＜y2．
即y2＞y1＞y3．
故选：A．
8．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆造型出会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　）
A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2
【分析】首先证明△OCD是等边三角形，求出OC＝OD＝CD＝4cm，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可．
【解答】解：如图，连接CD．

∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝4cm，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π，
故选：B．
9．（3分）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（　　）
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
【分析】根据题意，可以得到h与t的函数关系式，然后化为顶点式，即可得到h的最大值，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，
故选：C．
10．（3分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，据此可得答案．
【解答】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（+）2﹣＝　5　．
【分析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝3+2+2﹣2
＝5．
故答案为5．
12．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有　（3n+1）　个三角形（用含n的代数式表示）．

【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．
【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1
第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1
第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1
…
按此规律摆下去，
第n个图案有（3n+1）个三角形．
故答案为：（3n+1）．
13．（3分）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　甲　．
【分析】分别计算、并比较两人的方差即可判断．
【解答】解：甲的平均成绩为：（12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9）＝12秒，
乙的平均成绩为：（12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1）＝12秒；
分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：
S甲2＝[（12.2﹣12）2+（11.8﹣12）2+（12.1﹣12）2+（11.9﹣12）2]＝，
S乙2＝[（12.3﹣12）2+2（12.1﹣12）2+（11.8﹣12）2+（11.7﹣12）2]＝，
∵＜，
∴甲运动员的成绩更为稳定；
故答案为：甲．
14．（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　2　cm．

【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　　．

【分析】如图，过点F作FH⊥AC于H．首先证明FH：AH＝2：3，设FH＝2k，AH＝3k，根据tan∠FCH＝＝，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）．
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第　三　步是进行分式的通分，通分的依据是　分式的基本性质　．或填为：　分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变　；
②第　五　步开始出现错误，这一步错误的原因是　括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号　；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（2）①根据分式的基本性质即可判断；
②根据分式的加减运算法则即可判断；
任务二：依据分式加减运算法则计算可得；
任务三：答案不唯一，只要合理即可．
【解答】解：（1）（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）
＝16×（﹣）+3
＝﹣2+3
＝1；
（2）①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
任务二：﹣
＝﹣…第一步
＝﹣…第二步
＝﹣…第三步
＝…第四步
＝…第五步
＝﹣…第六步；
任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；五；括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．
17．（6分）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×（1+50%）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．
【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，售价为80%×（1+50%）x元，
根据题意，得80%×（1+50%）x﹣128＝568，
解得x＝580．
答：该电饭煲的进价为580元．
18．（7分）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

【分析】连接OB，如图，根据切线的性质得OB⊥AB，再利用平行四边形的性质得AB∥OC，OA∥BC，则∠BOC＝90°，接着计算出∠C＝∠OBC＝45°，然后利用平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，从而根据圆周角定理得到∠E的度数．
【解答】解：连接OB，如图，
∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，OA∥BC，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵AO∥BC，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E＝∠AOB＝22.5°．

19．（9分）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　300　亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．
【分析】（1）根据统计图，将2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列，再利用中位数定义求解可得；
（2）分别从2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率和2020年预计投资规模角度分析求解可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、300、300、500、640，
∴图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元，
故答案为：300；
（2）甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大；
（3）列表如下：

W
G
D
R
X
W

（G，W）
（D，W）
（R，W）
（X，W）
G
（W，G）

（D，G）
（R，G）
（X，G）
D
（W，D）
（G，D）

（R，D）
（X，D）
R
（W，R）
（G，R）
（D，R）

（X，R）
X
（W，X）
（G，X）
（D，X）
（R，X）

由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率＝．
20．（8分）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　勾股定理的逆定理　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

21．（10分）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

【分析】（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，解直角三角形即可得到结论；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，
由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝28°，AB＝60cm，
∵sin∠ABM＝，
∴AM＝AB•sin∠ABM＝60•sin28°≈60×0.47＝28.2，
∴MN＝AM+DN+AD＝2AM+AD＝28.2×2+10＝66.4，
∴BC与EF之间的距离为66.4cm；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，
根据题意得，，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，
当x＝30时，2x＝60，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．

22．（12分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，DH⊥AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，

∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
23．（13分）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（2）设P（m，m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，，
∴直线l的解析式为；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，m2﹣m﹣3），N（m，m﹣1），

∴PM＝﹣m2+m+3，MN＝m+1，NP＝﹣m2+m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得﹣m2+m+3＝3（m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得﹣m2+m+3＝3（﹣m2+m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，﹣）；
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，﹣）或（0，﹣3）；
（3）∵直线l：与y轴于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，

过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴，即
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED＝，
∴，，
∴，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，

∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴，即，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝2，
∴3EG＝2，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣）．