2019届二轮复习小题分层练5 中档小题保分练(1)作业（全国通用）
展开小题分层练(五) 中档小题保分练(1)
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一、选择题
1．(2018·太原高二模)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( )
A．1 B．5 C. D.
D [由题意得＝3a1q2，解得q＝－，q＝1(舍)，
所以S5＝＝＝＝，选D.]
2．设实数a，b，c满足：a＝21－log23，b＝a－，c＝ln a，则a，b，c的大小关系为( )
A. c<a<b B．c<b<a
C. a<c<b D．b<c< a
A [由题意得a＝21－log23＝2log2＝，b＝－＞0＝1，c＝ln＜0，所以c＜a＜b.选A.]
3．(2018·江西新余高三二模)函数y＝的图象大致为( )
A B C D
B [函数y＝的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，故排除A，
∵f(－x)＝＝－f(x)，∴排除C，
当x＝2时，y＝＞0，故排除D，故选B.]
4．已知函数f(x)＝则f(2 019)＝( )
A．1 B．0 C．－1 D．log32
B [f(2 019)＝－f(2 017)＝f(2 015)＝…＝－f(1)＝－f(－1)＝－log31＝0，故选B.]
5．某几何体的三视图如图34所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
图34
A. 2 B. C. D. 3
D [根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，
则V＝××2×x＝3⇒x＝3，故选D.]
6．(2018·衡水金卷高三调研卷二模)已知将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，则函数g(x)的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
D [由题意，将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度得到g(x)＝sin2ωx＋＋的图象，因为函数g(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，所以＝，所以T＝π＝，解得ω＝1，所以g(x)＝sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以函数g(x)的一个对称中心为，故选D.]
7．(2018·东北三省四市)已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折成直二面角BADC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为( )
A．3π B．4π C．5π D．6π
C [由题意，知过A，B，C，D四点的球的直径为以DA，DB，DC为邻边的长方体的对角线的长，而DA＝，DB＝DC＝1，则R＝＝，所以球的表面积为S＝4π2＝5π.]
8．(2018·湖南株洲高三二模)《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如图35. 若输出的S的值为 360，则判断框中可以填( )
图35
A．i＞6? B．i＞7?
C．i＞8? D．i＞9?
C [模拟程序的运行可得
S＝0，i＝1；
执行循环体，S＝290，i＝2；
不满足判断框内的条件，执行循环体， S＝300，i＝3；
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝310，i＝4；
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝320，i＝5；
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝330，i＝6；
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝340，i＝7；
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝350，i＝8；
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝360，i＝9.
由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为360.
可得判断框中的条件为i＞8？.]
9．(2018·甘肃兰州高三一诊)若双曲线－y2＝1的两条渐近线分别与抛物线x2＝2py(p＞0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为1，则p的值为( )
A．1 B. C．2 D. 4
B [双曲线－y2＝1的两条渐近线方程是y＝±x，
又抛物线x2＝2py(p＞0)的准线方程是y＝－，
故A，B两点的横坐标分别是x＝±p，
又△OAB的面积为1，∴··2p＝1，∵p＞0，
∴p＝.]
10．(2018·重庆二模)为培养学生分组合作能力，现将某班分成A、B、C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )
A. 甲、丙、乙 B. 乙、甲、丙
C. 乙、丙、甲 D. 丙、乙、甲
C [因为在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲．假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲．故选C. ]
11．已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
B [由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC及其内部)，
由得A(1，－2a)，
当直线2x＋y－z＝0过点A时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故选B.]
12．(2018·北京师范大学附中二模)设函数f(x)＝ex－，若不等式f(x)≤0有正实数解，则实数a的最小值为( )
A. 3 B. 2 C．e2 D．e
D [原问题等价于a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，
则a≥[g(x)]min，而g′(x)＝ex(x2－x)，
由g′(x)＞0可得：x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，
由g′(x)＜0可得：x∈(0,1)，
据此可知，函数g(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为g(1)＝e，
综上可得：实数a的最小值为e.]
二、填空题
13．(2018·淄博联考)在区间内随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥”发生的概率是________．
[sin x＋cos x≥
⇒sin≥⇒sin≥⇒＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
因为x∈，所以x∈，因此概率是＝.]
(教师备选)
我国古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米250斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为54尺，则圆锥形的高约为多少尺？(注： 1斛≈1.62立方尺，π≈3 )
若使题目中的圆锥形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为________．
21．2尺 [因为250斛＝250×1.62立方尺，设圆锥形的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，∴r＝9，因此250×1.62＝×3×92×h⇒h＝5，设球的半径为R，则R2＝92＋(5－R)2，可得R＝10.6(尺)，∴2R＝21.2(尺)．]
14．(2018·河北保定高三一模)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边a＝3，b＝2，且accos B＝a2－b2＋bc，则B＝________.
(或30°) [因为accos B＝a2－b2＋bc，所以
(a2＋c2－b2)＝a2－b2＋bc，∴b2＋c2－a2＝bc
∴cos A＝＝，∴sin A＝
由正弦定理得＝，∴sin B＝×＝，
∵b＜a，∴B＝.]
(教师备选)
已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是________．
[，2) [在△ABO中，设AB的中点为D，连接OD，则OD⊥AB，∵|＋|≥||.∴2||≥||，∴||≤2||，又∵||2＋||2＝4，∴||2≥1.∵直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，∴||2＜4，∴1≤||2＜4，∴1≤2＜4，又k＞0，∴≤k＜2.]
