2019届二轮复习小题分层练8 中档小题保分练(4)作业（全国通用）
展开小题分层练(八) 中档小题保分练(4)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝|x－1|
C．y＝|x3| D．y＝2－|x|
C [对于A：是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，故A错；
对于B：不是偶函数，故B错；
对于C：是偶函数，在(0，＋∞)单调递增，故C对；
对于D：是偶函数，在(0，＋∞)上y＝2－x单调递减，
故选C.]
2．(2018届福建德化三校联考)定义运算ab＝则函数f(x)＝1x的图象是下图中( )
A B C D
D [由题意可得f(x)＝1x＝则答案为D.]
3．(2018·惠州二模)将函数y＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )
A. B.
C. D.
C [将函数y＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的，可得y＝sin的图象，再往上平移1个单位，得函数y＝sin＋1的图象．
∵y＝sin＋1的单调区间与函数y＝sin2x＋相同，
∴令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，该函数的单调增区间为，故选C.]
4．(2018·茂名模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＋c＝2a，且b＝，c＝3，则a＝( )
A. 1 B. C．2 D. 4
D [∵2bcos C＋c＝2a，由正弦定理可得
2sin Bcos C＋sin C＝2sin A＝2sin(B＋C)＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C，
∴sin C＝2cos Bsin C，∵sin C≠0,0＜B＜π，∴B＝.
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，∵b＝，c＝3，解得a＝4.]
5．某几何体的三视图如图41所示，则此几何体的体积为( )
图41
A．6＋2＋ B．6＋2
C．3 D.
D [由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥和一个三棱柱所构成的简单组合体，所以其体积为V＝V1＋V2，而V1＝××1＝，V2＝×1＝2，所以V＝V1＋V2＝＋2＝，故应选D.]
6．等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于( )
A. 3 B. 4 C．log318 D．log324
A [∵log3(2x)、log3(3x)、log3(4x＋2)成等差数列，
∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，
∴log3(2x)(4x＋2)＝log3(3x)2，
∴，解得x＝4.
∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，
∴公差d＝log312－log38＝log3，
∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3，选A.]
7．(2018·南宁联考)在如图42所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别棱是B1B、AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为( )
图42
A. B.
C. D.
D [如图，过E点作EM∥AB，过M点作MN∥AD，连接EN，取MN中点G，所以面EMN∥面ABCD，EG∥BF，异面直线BF与D1E所成角，转化为∠D1EG，不妨设正方形边长为2，GE＝，D1G＝，D1E＝3，在△D1GE中，
由余弦定理cos∠D1EG＝＝，选D.]
8．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线的左支于B点，若＝2，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2 C. D.
C [设双曲线的右焦点F的坐标(c,0)，由于直线AB与直线y＝－x垂直，所以直线AB方程为y＝(x－c)，联立求出点A，由已知＝2，得点B，把B点坐标代入方程－＝1，－＝1，整理得c＝a，故离心率e＝＝，选C.]
(教师备选)
1．(2018·沈阳一模)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为( )
A. －3 B. －3或9 C. 3或－9 D. －9或－3
B [结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数：f(x)＝的函数值，且函数值为0，据此分类讨论：
当x≤0时，x－8＝0，∴x＝－3；
当x＞0时，2－log3x＝0，∴x＝9，
综上可得，输入的实数x的值为－3或9.]
2．(2018·南昌一模)已知F1，F2为双曲线C：－＝1(b＞0)的左右焦点，点A为双曲线C左支上一点，AF1交右支于点B，△AF2B是等腰直角三角形，∠AF2B＝，则双曲线C的离心率为( )
A．4 B．2 C．2 D.
D [画出图象如下图所示，根据双曲线的定义有|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝2，根据等腰直角三角形有|AF2|＝|BF2|，解得|BF2|＝|AF2|＝4，|AF1|＝4－2，|AB|＝4，|BF1|＝4＋2，在三角形BF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝4c2＝42＋(4＋2)2－2×4×(4＋2)×cos＝24，解得c＝，故离心率为＝＝.选D.
]
9．(2018·北京朝阳一模)某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
D [若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；
若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；
若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；
若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意，故选D. ]
10．(2018·咸阳二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)＞1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为( )
A．a＜b B．a＞b
C．a＝b D．无法确定
A [令g(x)＝exf(x)－ex，则
g′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))－ex＝ex(f(x)＋f′(x)－1)＞0.
即g(x)在R上为增函数．
所以g(3)＞g(2)，即e3f(3)－e3＞e2f(2)－e2，整理得e[f(3)－1]＞f(2)－1，即a＜b，故选A.]
二、填空题
(教师备选)
若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(2))＝________.
2 [∵函数f(x)＝为奇函数，所以f(2)＝g(2)，f(－2)＝22－2＝2，g(2)＝－f(－2)＝－22＋2＝－2，f(g(2))＝f(－2)＝22－2＝2.]
11．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
[7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为＝.]
(教师备选)
(2018·百校联盟联考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x－ky＝0与圆C：x2＋y2＝4的内接正三角形ABC交边AB于点P，交边AC于点Q，且PQ∥BC，则·的值为________．
－ [因为圆心O为三角形ABC的中心，所以边长为2，由于直线l：x－ky＝0与圆C：x2＋y2＝4的内接正三角形ABC交边AB于点P，交边AC于点Q，且PQ∥BC，因此由三角形重心的性质可得，＝，＝，·＝(＋)·(＋)＝·＝·＋·＋·＋·＝6＋－－＝－.]
12．(2018·太原二模)已知三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝，点E是BC的中点，点A在平面BCD射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．
[由题意可知BC⊥面EAD，BD⊥CD，DE＝1，设DE中点是F，则AF⊥面BCD，AF＝，外接球球心在过点E垂直面BCD的直线上，即与AF平行的直线上．设球心为O，半径为R，由OA＝OB，R2＝1＋OE2＝2＋，解得OE2＝，R2＝，S＝4π×＝.]
