2019届二轮复习双曲线提分秘籍学案（全国通用）

题型一　双曲线的定义及标准方程

1　利用定义求轨迹方程

例1已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为                  ．

【解析】　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，

【答案】　x2－＝1(x≤－1)

点评：定义法是求解这类轨迹问题的常用方法，但要注意轨迹方程的定义域，与题目条件是否一致.

巩固1求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切的动圆圆心M的轨迹．

2　利用待定系数法求双曲线方程

例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．

【解析】　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．

由题意知，2b＝12，e＝＝，

∴b＝6，c＝10，a＝8.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.学  

巩固2已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

3　利用定义解决焦点三角形问题

例3已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝        .

【解析】　∵由双曲线的定义有

|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，

∴|PF1|＝2|PF2|＝4，| ]

则cos∠F1PF2＝

＝＝.

【答案】　

引申探究

1．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

【解析】　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos∠F1PF2＝＝，

∴|PF1|·|PF2|＝8，

∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.

2．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

点评 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

巩固3设双曲线x2－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是        ．

题型二　双曲线的几何性质

例4：(1)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A.x±y＝0   B．x±y＝0

C．x±2y＝0   D．2x±y＝0

【解析】由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，

又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，

所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，

所以b＝＝a.

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0. 学  

【答案】A

 (2)(2016·山东)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是      ．

【答案】　2

点评 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.

巩固4（2018天津文、理）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为（    ） 学   ]   ] 学    ]

（A）  （B）（C）  （D）

题型三　直线与双曲线的综合问题

例5　 (2018·福州模拟)已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是      ．

【解析】　由直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1联立方程组，消y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

因为该方程有两个不等且都大于1的根，

所以

解得1<k<.

【答案】　(1，)

点评 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．

变式：已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

点评　(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．

(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.

巩固5（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若为直角三角形，则|MN|=（    ）

A．    B．3  C．  D．4

答案与解析

巩固1【解析】据题意：|MC1|＝r＋1,|MC2|＝r＋2.

∴|MC2|－|MC1|＝1，

又1<2.∴点M的轨迹是:以C2，C1为焦点的双曲线的上支．

即点M的轨迹方程为＝1.(y>0) 学  

【答案】　＝1.(y>0)

【答案】　D

巩固3【解析】如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，

设|PF2|＝m，

则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，

由于△PF1F2为锐角三角形，

结合实际意义需满足

解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，

∴2＜2m＋2＜8.

【答案】　(2，8)

【答案】A

巩固5【解析】：渐近线方程为：，即，

∵为直角三角形，假设，如图，

∴，直线方程为.联立

∴，即，

∴，∴，

故选B.

【答案】B