2019届二轮复习圆锥曲线的综合问题学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1. 圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法

圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．

2. 圆锥曲线中的最值与范围问题

与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用．

3.圆锥曲线中的探索性问题

探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法．

【重点难点突破】

考点1  圆锥曲线中的定点、定值问题

【1-1】【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；     

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；(2)证明过程见解析.

【解析】

直线PA的方程为y–2=．

令x=0，得点M的纵坐标为．

同理得点N的纵坐标为．

由，得，．

所以．   ]

所以为定值．

【1-2】【2018届安徽省淮南市二模】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.

(1)求该抛物线的方程；

(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.

【答案】（1）；（2）过定点

【解析】

所以直线的方程为

化简的 .   ]

直线过定点.

【领悟技法】

定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

【触类旁通】

【变式一】【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

（1）求的最小值；   

（2）若，求证：直线过定点.

【答案】（1）.（2）见解析

由方程组，得，

由题意，所以，

设，

，

由，得，

因此直线的方程为，所以直线恒过定点.

【变式二】【2018届华大新高考联盟4月检测】已知抛物线的焦点为，的三个顶点都在抛物线上，且.

（1）证明:两点的纵坐标之积为定值；

（2）设，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.   

【解析】

故

，

故的取值范围是.

【综合点评】圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．

考点2  圆锥曲线中的最值与范围问题

【2-1】【2018届江苏省仪征中学高三10月检测】椭圆C： 的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、、，且、、恰好构成等比数列，记△的面积为S.

（1）求椭圆C的方程.

（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？

（3）求S的范围.

【答案】(1) （2）5（3）

【解析】

所以；

所以

所以是定值为5；      

（3）（，且）

所以 

【2-2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图，已知抛物线，过直线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为.

（I）求证：；

（II）求面积的最小值.

【答案】(1)见解析(2) 面积取最小值   

【解析】

所以

综上，当时，面积取最小值.

【综合点评】

1.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．

(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．

2.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围．

【领悟技法】

圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

④利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

【触类旁通】

【变式1】【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知抛物线和：，过抛物线上的一点，作的两条切线，与轴分别相交于，两点.

（Ⅰ）若切线过抛物线的焦点，求直线斜率；

（Ⅱ）求面积的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

从而 ，

.

记函数，则，

，的最小值为，当取得等号.

【变式2】【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， 、分别为两个切点，求面积的最小值．

【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2.

所以，同理切线的方程为，

又和都过点，所以，

所以直线的方程为.

联立得，所以.   

考点3  圆锥曲线中的探索性问题

【3-1】【2018届广东省东莞市考前冲刺】在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且.

（1）求抛物线和椭圆的方程；

（2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）,（2）

【解析】

（1）因为抛物线经过点，且.

所以，解得，所以抛物线，焦点，

由题意知解得所以椭圆：

【3-2】【【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，

令，解得，故，

又，

.

要使其为定值，需满足，

解得.

故定点的坐标为.   

【领悟技法】

解析几何中存在性问题的求解方法：

1．通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在．

2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．

【触类旁通】

【变式一】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.

（1）求该抛物线的方程；

（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】

设，则.

∵

【变式二】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）   

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.

【答案】(1) ,(2) .

【解析】

（Ⅰ）设动点，则，且，①

又，得，

代入①得动点的轨迹方程为．

（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．

直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，

得，

考点4 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

【4-1】【2018届重庆市三诊】已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的的方程；

（2）设点为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题意有：；

（2）由对称性，猜测该定点为，设该切线方程为，

则有，

联立方程有：，

，

所以，即原点以在为直径的圆上.

【4-2】已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

【答案】（1）；（2）.   

【领悟技法】

直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．

【触类旁通】  ]

【变式一】【2018届江西省南昌市上学期高三摸底】已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，

求证：点在定圆上.

【答案】（1）椭圆的标准方程为   （2）证明见解析

【解析】

由①②得.

∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）

【变式二】【2018届浙江省杭州市学军中学模拟】是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点，求当 时，的最小值.

【答案】(1) .(2) .   

【解析】

∴令，则

∴令，则

∴时.

【易错试题常警惕】

易错典例：中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3， 0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程．

易错分析：没注意检验曲线上的点是否都满足题意．

温馨提示：1.要注意完备性和纯粹性的检验．

2.求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．

【学 素养提升之思想方法篇】

----数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

【典例】【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.

（1）证明：抛物线与圆相切；

（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

∴，