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2019届二轮复习立体几何学案（全国通用）
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【考情概览】
年份
题号
考点
难度层次
考查内容，方式，模型等
素养
18
3
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
8
比较角的大小
简单
线线角、线面角、面面角的定义
直观想象
19
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
17
3
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
9
二面角
一般
线面平行与垂直的判定定理、数量积公式
数计算
直观想象
19
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
16
3
空间点线面的位置关系
简单
线线平行的判定定理
数计算
直观想象
10
三视图
简单
几何体的表面积
数计算
直观想象
13
空间几何体的体积
较难
利用导数研究函数的最值
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题]
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
15
2
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
8
立体几何的动态问题
一般
线面夹角、余弦定理
数计算
直观想象
13
异面直线的夹角
一般
余弦定理
数计算
直观想象
17
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
14
3
三视图
简单
几何体的表面积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
13
10
空间点线面的位置关系
简单
面面平行的判定定理
数计算
直观想象
12
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
12
10
空间点线面的位置关系
简单
线线垂直的判定定理
数计算
直观想象
11
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
11
3
三视图
简单
利用三视图还原几何体的直观图
数计算
直观想象
4
空间点线面的位置关系
简单
面面垂直的判定定理
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
09
5
空间点线面的位置关系
一般
线面夹角
数计算
直观想象
12
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
【应试策略】
1.如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
【答案】PQ∥RS
【应试策略】
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．
2.如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxy . ]
(1)求证A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
【答案】（1）A1F⊥C1E；（2）＝＋.
【应试策略】
1. 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．
2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．
3.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．
4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．
3.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【应试策略】
1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．
2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
【真题展示】
一、选择题
1.【2018年，浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】该几何体的立体图形为四棱柱，.
2.【2018年，浙江卷8】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
3.【2017年，浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
（第3题图）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．
【考点】 三视图
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．
4.【2014年.浙江卷.理3】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
A. 90 B. 129 C. 132 D. 138
【答案】D
【解析】有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为，故选D．
【考点】三视图,几何体的表面积.
5.【2012年.浙江卷.理10】已知矩形ABCD，AB＝1，．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【答案】B
6.【2011年.浙江卷.理3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】 D
【解析】A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D
7.【2011年.浙江卷.理4】下列命题中错误的是
（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
（C）如果平面，平面，，那么
（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】 D
【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如α平面垂直β平面，垂线为AB，直线CD属于α，与AB交与E点，角度为60°，不垂直平面，故选D
8. 【2009年.浙江卷.理5】在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
9.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积
，故选C.
【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.
10.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知，．故选C．
【考点】空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
11.【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则( )．
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
【答案】A
12.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点定位】立体几何中的动态问题
13.【2017年，浙江卷9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，
BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，
则
（第9题图）
A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α
【答案】B
【考点】 空间角（二面角）
【名师点睛】立体几何是高中数中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．
14.【2014年.浙江卷.文6】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
【答案】C
【解析】
【考点】空间中的线线、线面、面面的位置关系，容易题.
15.【2013年.浙江卷.文4】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【答案】C
【解析】A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C
16.【2013年.浙江卷.文5】已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )．
A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－××3×42＝100(cm3)．故选B.
17.【2012年.浙江卷.文3】已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A．1 cm3 B．2 cm3
C．3 cm3 D．6 cm3
【答案】A
【解析】由三视图得，该三棱锥底面面积S＝×2×1＝1(cm2)，高为3 cm，由体积公式，得V＝Sh＝×1×3＝1(cm3)．
18.【2012年.浙江卷.文5】设l是直线，α，β是两个不同的平面，( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【答案】B
19.【2011年.浙江卷.文4】若直线不平行于平面，且，则
(A) 内的所有直线与异面 (B) 内不存在与平行的直线
(C) 内存在唯一的直线与平行 (D) 内的直线与都相交
【答案】 B
【解析】直线不平行于平面，所以与相交，故选B
20.【2011年.浙江卷.文7】几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】 B
【解析】A，C与正视图不符，D与俯视图不符，故选B
21.【2010年.浙江卷.文8】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
（A）cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3
【答案】B
22.【2009年.浙江卷.文4】设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．w.w.w c
23.【2009年.浙江卷.文12】若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是
．
【答案】 18
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此
其几何体的体积为18
24.【2015高考浙江，文4】设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【考点定位】直线、平面的位置关系.
25.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】C
【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.
【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.
二、填空题
1.【2013年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于 cm3.
【答案】24
【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．
＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
2.【2012年.浙江卷.理11】已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm3．
【答案】1
【解析】由图可知三棱锥底面积(cm2)，三棱锥的高h＝2 cm，根据三棱锥体积公式，(cm3)．
3.【2009年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．
【答案】18
4.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．
【答案】.
【解析】试题分析：如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
∴，即异面直线，所成角的余弦值为.
【考点定位】异面直线的夹角.
5.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.
【答案】
【考点】1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．
【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．
6.【2009年.浙江卷.理17】如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是
7.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .
【答案】
.
设，因为，所以.
则.
（1）当时，有，
故.
此时，.
，因为， ]
所以，函数在上单调递减，故.
（2）当时，有，故.
此时，.
由（1）可知，函数在单调递减，故.
综上，四面体的体积的最大值为.
【考点】1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．
【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．
8.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.
【答案】80，40
【考点】三视图.
【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．
三、 解答题
1.【2018年，浙江卷19】（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
19.答案：（1）略；（2）
过点作的垂线段交于点.
则，，∴.
在中，，
∴，②
综合①②，∵，平面，平面，
∴平面.
（2）过点作的垂线段交于点，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
2.【2017年，浙江卷19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（第19题图）
（Ⅰ）证明：平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
即四边形BCEF为平行四边形，所以，
因此平面PAB．
（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．
【考点】证明线面平行，求线面角
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角．
3.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
（1）证明：D平面；
（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解
4.【2014年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面.
（1） 证明：平面;
（2） 求二面角的大小
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的大小是．
【解析】
试题解析：（I）在直角梯形中，由，得，，由，则，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；
（II）方法一：作，与交于点，过点作，与交于点，连结，由（I）知，，则 所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，，由于平面，得：，在中，由，，得，
试题点评：本题主要考查空间点，线，面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用 ，同时考查空间想象能力，与推理论证，运算求解能力．
5.【2013年.浙江卷.理20】(本题满分15分)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
【答案】
【解析】
由题意知A(0，，2)，B(0，，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．
因为，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，，1)．
又P为BM的中点，故P，所以＝.
又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，故·u＝0.又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD．
(2)解：设m＝(x，y， )为平面BMC的一个法向量．由＝(－x0，,1)，＝(0,，1)，
6.【2012年.浙江卷.理20】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】(1)证明：因为M，N分别是PB，PD的中点，
所以MN是△PBD的中位线．所以MN∥BD．
又因为MN平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．
(2)解：方法一：连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xy ，如图所示．
由，知
取 ＝5，得n＝(，0,5)．于是cos〈m，n〉＝．
所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为．
方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA，BD=AB．
7.【2011年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
由即得可取
由，得解得，故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
法二（Ⅰ）证明：
又因为所以平面故
（Ⅱ）如图，在平面内作
8.【2010年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。
（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,
方法二：
（Ⅱ）解：设,
因为翻折后，与重合，
所以，
而，
得，经检验，此时点在线段上，
所以。
9.【2009年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，平面平面，
是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．
此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．w.w.w c.o.m
10.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）．
【解析】
（II）方法一：
过点作，连结．
，，，
，，．
因此，，， ．
设平面的法向量为，平面的法向量为．
由，得，取；
由，得，取． ]
于是，．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
考点：1、线面垂直；2、二面角．
【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
11. 【2015高考浙江，文18】（本题满分15分）
如图，在三棱锥中，在底
面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)略；(2)
【解析】
(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；
(2)通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值.
(2)作，垂足为，连结.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
所以平面.
所以为直线与平面所成角的平面角.
由，得.
由平面，得.
由，得.
所以
【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.
12.【2014年.浙江卷.文20】（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面；，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正切值.
A
D
E
B
C
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
在中，，，得，
在中，由，得，
所以直线与平面所成的角的正切值是.
考点：空间点、线、面的位置关系，线面所成的角.
13.【2013年.浙江卷.文20】(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．
(1)证明：BD⊥平面APC；
(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．
【答案】(1) 详见解析；(2) . (3)
【解析】(1)设点O为AC，BD的交点．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.
(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
14.【2012年.浙江卷.文20】如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，，AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1；
②BA1⊥平面B1C1EF； ]
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
【答案】(1)详见解析； (2) ．
【解析】(1)证明：①因为C1B1∥A1D1，C1B1平面ADD1A1，
15.【2011年.浙江卷.文20】（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的大小为
同理，因为所以即二面角的大小为
16.【2010年.浙江卷.文20】（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
所以 BF//平面
（Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a
则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,
连CE
因为
在△BCE中，可得CE=a,
17.【2009年.浙江卷.文19】（本题满分14分）
如图，平面，，，，分别为的中点．
（I）证明：平面；
（II）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又
18.【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
试题解析：（Ⅰ）延长相交于一点，如图所示.
因为平面平面，且，所以
平面，因此，.
又因为，，，所以
为等边三角形，且为的中点，则
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，所以是直线与平面所成的角.
在中，，得.
所以，直线与平面所成的角的余弦值为.
【考点】空间点、线、面位置关系、线面角.
【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
【对症下药】
1.利用“坐标法解(证)立体几何题的步骤
第一步，建立坐标系．通常把两两互相垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；
第二步，表示点的坐标．将题中相关点用坐标表示，这一步是解(证)几何题的关键；
第三步，表示向量的坐标．根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用表示向量的终点坐标减去始点坐标；
第四步，求出问题的解．将点或向量的坐标代入公式(夹角公式、距离公式等)；
第五步，得出结论．根据上一步所求得的结果，进一步得出问题的正确结论．
上述五步中第二步是最关键一步，点的坐标决定着向量的坐标，从而决定着后续计算的对错，也就意味着解题的成功与失败，因此特强调如下两点：
2.如何确定空间点的坐标
空间点的坐标是有序实数组，其中的三个数，，包含坐标的符号与坐标的绝对值．要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值．
(1)判断点的坐标的符号
点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则为负．如位于轴正方向，则横坐标为正；位于轴负方向，则竖坐标为负．
(2)确定点的坐标的绝对值
过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点哪个坐标的绝对值．如这条垂线段平行于轴且长度为，则该点的纵坐标的绝对值是；如这条垂线段平行于轴且长度为，则该点的竖坐标的绝对值是．
3.常见特殊点的坐标特点
(1)坐标轴上点的坐标的特点
①轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如．
②轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如．
③轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如．
(2)坐标平面上点的坐标的特点
①平面上所有点的竖坐标是0，形如．
②平面上所有点的横坐标是0，形如．
③平面上所有点的纵坐标是0，形如．
(3)非特殊点(既不在坐标轴上也不在坐标平面内的点)的坐标设法
如果是线段上的任一点，，，其中，，，，，均已知，设，并由在线段上知存在实数，使得，即，
所以，，．
这样点坐标就可只用一个参数来表示了，即，这样设的目的是便于求参数(只列一个关于的方程即可)．
【考题预测】
1.如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的正弦值大小.
【答案】
2.如图，三棱柱中， ， ， 分别为棱的中点.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.
]
【答案】（1）见解析（2）
（2）连结，∵，∴为正三角形.
∵为的中点，∴点的坐标为，
∴.
∵，∴，∴，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】
试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
可取.
则， ]
所以二面角的余弦值为.
4.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。
（1）证明：直线 平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。
【答案】(1)证明略；
(2) 。
【解析】
试题解析：
（1）取的中点，连结，。
因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。
又平面，平面，故平面。
（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
5.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.
（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；
（Ⅱ）当，，求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.
思路二：
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向[
计算即得. ……
（Ⅱ）解法一：
【考情概览】
年份
题号
考点
难度层次
考查内容，方式，模型等
素养
18
3
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
8
比较角的大小
简单
线线角、线面角、面面角的定义
直观想象
19
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
17
3
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
9
二面角
一般
线面平行与垂直的判定定理、数量积公式
数计算
直观想象
19
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
16
3
空间点线面的位置关系
简单
线线平行的判定定理
数计算
直观想象
10
三视图
简单
几何体的表面积
数计算
直观想象
13
空间几何体的体积
较难
利用导数研究函数的最值
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题]
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
15
2
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
8
立体几何的动态问题
一般
线面夹角、余弦定理
数计算
直观想象
13
异面直线的夹角
一般
余弦定理
数计算
直观想象
17
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
14
3
三视图
简单
几何体的表面积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
13
10
空间点线面的位置关系
简单
面面平行的判定定理
数计算
直观想象
12
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
12
10
空间点线面的位置关系
简单
线线垂直的判定定理
数计算
直观想象
11
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
11
3
三视图
简单
利用三视图还原几何体的直观图
数计算
直观想象
4
空间点线面的位置关系
简单
面面垂直的判定定理
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
09
5
空间点线面的位置关系
一般
线面夹角
数计算
直观想象
12
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
【应试策略】
1.如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
【答案】PQ∥RS
【应试策略】
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．
2.如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxy . ]
(1)求证A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
【答案】（1）A1F⊥C1E；（2）＝＋.
【应试策略】
1. 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．
2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．
3.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．
4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．
3.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【应试策略】
1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．
2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
【真题展示】
一、选择题
1.【2018年，浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】该几何体的立体图形为四棱柱，.
2.【2018年，浙江卷8】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
3.【2017年，浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
（第3题图）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．
【考点】 三视图
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．
4.【2014年.浙江卷.理3】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
A. 90 B. 129 C. 132 D. 138
【答案】D
【解析】有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为，故选D．
【考点】三视图,几何体的表面积.
5.【2012年.浙江卷.理10】已知矩形ABCD，AB＝1，．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【答案】B
6.【2011年.浙江卷.理3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】 D
【解析】A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D
7.【2011年.浙江卷.理4】下列命题中错误的是
（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
（C）如果平面，平面，，那么
（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】 D
【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如α平面垂直β平面，垂线为AB，直线CD属于α，与AB交与E点，角度为60°，不垂直平面，故选D
8. 【2009年.浙江卷.理5】在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
9.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积
，故选C.
【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.
10.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知，．故选C．
【考点】空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
11.【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则( )．
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
【答案】A
12.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点定位】立体几何中的动态问题
13.【2017年，浙江卷9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，
BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，
则
（第9题图）
A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α
【答案】B
【考点】 空间角（二面角）
【名师点睛】立体几何是高中数中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．
14.【2014年.浙江卷.文6】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
【答案】C
【解析】
【考点】空间中的线线、线面、面面的位置关系，容易题.
15.【2013年.浙江卷.文4】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )．
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
【答案】C
【解析】A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C
16.【2013年.浙江卷.文5】已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )．
A．108 cm3 B．100 cm3 C．92 cm3 D．84 cm3
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－××3×42＝100(cm3)．故选B.
17.【2012年.浙江卷.文3】已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A．1 cm3 B．2 cm3
C．3 cm3 D．6 cm3
【答案】A
【解析】由三视图得，该三棱锥底面面积S＝×2×1＝1(cm2)，高为3 cm，由体积公式，得V＝Sh＝×1×3＝1(cm3)．
18.【2012年.浙江卷.文5】设l是直线，α，β是两个不同的平面，( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【答案】B
19.【2011年.浙江卷.文4】若直线不平行于平面，且，则
(A) 内的所有直线与异面 (B) 内不存在与平行的直线
(C) 内存在唯一的直线与平行 (D) 内的直线与都相交
【答案】 B
【解析】直线不平行于平面，所以与相交，故选B
20.【2011年.浙江卷.文7】几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】 B
【解析】A，C与正视图不符，D与俯视图不符，故选B
21.【2010年.浙江卷.文8】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
（A）cm3 （B）cm3 （C）cm3 （D）cm3
【答案】B
22.【2009年.浙江卷.文4】设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．w.w.w c
23.【2009年.浙江卷.文12】若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是
．
【答案】 18
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此
其几何体的体积为18
24.【2015高考浙江，文4】设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【考点定位】直线、平面的位置关系.
25.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】C
【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.
【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.
二、填空题
1.【2013年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于 cm3.
【答案】24
【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．
＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
2.【2012年.浙江卷.理11】已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm3．
【答案】1
【解析】由图可知三棱锥底面积(cm2)，三棱锥的高h＝2 cm，根据三棱锥体积公式，(cm3)．
3.【2009年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．
【答案】18
4.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ．
【答案】.
【解析】试题分析：如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
∴，即异面直线，所成角的余弦值为.
【考点定位】异面直线的夹角.
5.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.
【答案】
【考点】1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．
【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．
6.【2009年.浙江卷.理17】如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是
7.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .
【答案】
.
设，因为，所以.
则.
（1）当时，有，
故.
此时，.
，因为， ]
所以，函数在上单调递减，故.
（2）当时，有，故.
此时，.
由（1）可知，函数在单调递减，故.
综上，四面体的体积的最大值为.
【考点】1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．
【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．
8.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.
【答案】80，40
【考点】三视图.
【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．
三、 解答题
1.【2018年，浙江卷19】（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
19.答案：（1）略；（2）
过点作的垂线段交于点.
则，，∴.
在中，，
∴，②
综合①②，∵，平面，平面，
∴平面.
（2）过点作的垂线段交于点，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
2.【2017年，浙江卷19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（第19题图）
（Ⅰ）证明：平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
即四边形BCEF为平行四边形，所以，
因此平面PAB．
（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．
【考点】证明线面平行，求线面角
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角．
3.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
（1）证明：D平面；
（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解
4.【2014年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面.
（1） 证明：平面;
（2） 求二面角的大小
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的大小是．
【解析】
试题解析：（I）在直角梯形中，由，得，，由，则，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；
（II）方法一：作，与交于点，过点作，与交于点，连结，由（I）知，，则 所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，，由于平面，得：，在中，由，，得，
试题点评：本题主要考查空间点，线，面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用 ，同时考查空间想象能力，与推理论证，运算求解能力．
5.【2013年.浙江卷.理20】(本题满分15分)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
(1)证明：PQ∥平面BCD；
(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．
【答案】
【解析】
由题意知A(0，，2)，B(0，，0)，D(0，，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．
因为，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，，1)．
又P为BM的中点，故P，所以＝.
又平面BCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，故·u＝0.又PQ平面BCD，所以PQ∥平面BCD．
(2)解：设m＝(x，y， )为平面BMC的一个法向量．由＝(－x0，,1)，＝(0,，1)，
6.【2012年.浙江卷.理20】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】(1)证明：因为M，N分别是PB，PD的中点，
所以MN是△PBD的中位线．所以MN∥BD．
又因为MN平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．
(2)解：方法一：连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xy ，如图所示．
由，知
取 ＝5，得n＝(，0,5)．于是cos〈m，n〉＝．
所以二面角AMNQ的平面角的余弦值为．
方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA，BD=AB．
7.【2011年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
由即得可取
由，得解得，故AM=3
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
法二（Ⅰ）证明：
又因为所以平面故
（Ⅱ）如图，在平面内作
8.【2010年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。
（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,
方法二：
（Ⅱ）解：设,
因为翻折后，与重合，
所以，
而，
得，经检验，此时点在线段上，
所以。
9.【2009年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，平面平面，
是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．
此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．w.w.w c.o.m
10.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）．
【解析】
（II）方法一：
过点作，连结．
，，，
，，．
因此，，， ．
设平面的法向量为，平面的法向量为．
由，得，取；
由，得，取． ]
于是，．
所以，二面角的平面角的余弦值为．
考点：1、线面垂直；2、二面角．
【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
11. 【2015高考浙江，文18】（本题满分15分）
如图，在三棱锥中，在底
面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)略；(2)
【解析】
(1)利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；
(2)通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值.
(2)作，垂足为，连结.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
所以平面.
所以为直线与平面所成角的平面角.
由，得.
由平面，得.
由，得.
所以
【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.
12.【2014年.浙江卷.文20】（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面平面；，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正切值.
A
D
E
B
C
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
在中，，，得，
在中，由，得，
所以直线与平面所成的角的正切值是.
考点：空间点、线、面的位置关系，线面所成的角.
13.【2013年.浙江卷.文20】(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝，PA＝，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．
(1)证明：BD⊥平面APC；
(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．
【答案】(1) 详见解析；(2) . (3)
【解析】(1)设点O为AC，BD的交点．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.
(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．
14.【2012年.浙江卷.文20】如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，，AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1；
②BA1⊥平面B1C1EF； ]
(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．
【答案】(1)详见解析； (2) ．
【解析】(1)证明：①因为C1B1∥A1D1，C1B1平面ADD1A1，
15.【2011年.浙江卷.文20】（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.
（Ⅰ）证明：⊥；
（Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的大小为
同理，因为所以即二面角的大小为
16.【2010年.浙江卷.文20】（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。
【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.
所以 BF//平面
（Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a
则AB=CD=2a, AD=AE=EB=a,
连CE
因为
在△BCE中，可得CE=a,
17.【2009年.浙江卷.文19】（本题满分14分）
如图，平面，，，，分别为的中点．
（I）证明：平面；
（II）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又
18.【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．
试题解析：（Ⅰ）延长相交于一点，如图所示.
因为平面平面，且，所以
平面，因此，.
又因为，，，所以
为等边三角形，且为的中点，则
所以平面.
（Ⅱ）因为平面，所以是直线与平面所成的角.
在中，，得.
所以，直线与平面所成的角的余弦值为.
【考点】空间点、线、面位置关系、线面角.
【方法点睛】解题时一定要注意直线与平面所成的角的范围，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
【对症下药】
1.利用“坐标法解(证)立体几何题的步骤
第一步，建立坐标系．通常把两两互相垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；
第二步，表示点的坐标．将题中相关点用坐标表示，这一步是解(证)几何题的关键；
第三步，表示向量的坐标．根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用表示向量的终点坐标减去始点坐标；
第四步，求出问题的解．将点或向量的坐标代入公式(夹角公式、距离公式等)；
第五步，得出结论．根据上一步所求得的结果，进一步得出问题的正确结论．
上述五步中第二步是最关键一步，点的坐标决定着向量的坐标，从而决定着后续计算的对错，也就意味着解题的成功与失败，因此特强调如下两点：
2.如何确定空间点的坐标
空间点的坐标是有序实数组，其中的三个数，，包含坐标的符号与坐标的绝对值．要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值．
(1)判断点的坐标的符号
点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则为负．如位于轴正方向，则横坐标为正；位于轴负方向，则竖坐标为负．
(2)确定点的坐标的绝对值
过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点哪个坐标的绝对值．如这条垂线段平行于轴且长度为，则该点的纵坐标的绝对值是；如这条垂线段平行于轴且长度为，则该点的竖坐标的绝对值是．
3.常见特殊点的坐标特点
(1)坐标轴上点的坐标的特点
①轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如．
②轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如．
③轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如．
(2)坐标平面上点的坐标的特点
①平面上所有点的竖坐标是0，形如．
②平面上所有点的横坐标是0，形如．
③平面上所有点的纵坐标是0，形如．
(3)非特殊点(既不在坐标轴上也不在坐标平面内的点)的坐标设法
如果是线段上的任一点，，，其中，，，，，均已知，设，并由在线段上知存在实数，使得，即，
所以，，．
这样点坐标就可只用一个参数来表示了，即，这样设的目的是便于求参数(只列一个关于的方程即可)．
【考题预测】
1.如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的正弦值大小.
【答案】
2.如图，三棱柱中， ， ， 分别为棱的中点.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.
]
【答案】（1）见解析（2）
（2）连结，∵，∴为正三角形.
∵为的中点，∴点的坐标为，
∴.
∵，∴，∴，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】
试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
可取.
则， ]
所以二面角的余弦值为.
4.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。
（1）证明：直线 平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。
【答案】(1)证明略；
(2) 。
【解析】
试题解析：
（1）取的中点，连结，。
因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。
又平面，平面，故平面。
（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
5.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.
（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；
（Ⅱ）当，，求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.
思路二：
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向[
计算即得. ……
（Ⅱ）解法一：
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