2019届二轮复习直线、平面垂直的判定和性质学案（全国通用）


一、考纲要求：
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
二、概念掌握及解题上的注意点：
1.证明直线和平面垂直的常用方法
(1）)利用判定定理.
(2）)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α).
(3）)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).
(4）)利用面面垂直的性质.
当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
(5）)重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.
2.面面垂直的两种证明方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
3．三种垂直关系的转化

4.平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略
(1）)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.
(2）)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的某一个，也可以根据相似知识找点.
三、高考考题题例分析：
例1.（2018课标卷I节选）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（
【答案】见解析

例2.（2018课标II节选） 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；

【答案】见解析
【解析】：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，
∴BO⊥AC，且BO=2，
又PA=PC=PB=AC=2，
∴PO⊥AC，PO=2，
则PB2=PO2+BO2，
则PO⊥OB，
∵OB∩AC=O，
∴PO⊥平面ABC；
例3.（2018课标卷III节选）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；


【答案】见解析

例4.（2018北京卷节选）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；


【答案】见解析
【解析】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，
∵AB=BC，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴AC⊥平面BEF．学
例5.（2018江苏卷节选）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．
求证：（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

【答案】见解析

　例6.(2018浙江卷节选)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；


【答案】见解析

例7.(2017江苏卷节选)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证：（2）AD⊥AC.
(第15题)
A
D
B
C
E
F

【答案】（2）见解析
【解析】（2）因为平面ABD⊥平面BCD，

例8.(2017·全国卷Ⅰ)如图7­5­5，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

图7­5­5
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
【答案】见解析
【解析】　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD．
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．
又AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.

由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，
可得PE⊥平面ABCD．



























直线、平面垂直的判定和性质
一、选择题
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β. (　　)
A．若l⊥β，则α⊥β　　 B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
【答案】A
【解析】　∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则 (　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C　
【解析】∵α∩β＝l，∴l⊂β.
∵n⊥β，∴n⊥l.学
3．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有 (　　)
A．平面ABD⊥平面ADC　 B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC

4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 (　　)
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
【答案】C
【解析】：选C　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ­ABC中直角三角形的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】A
【解析】：选A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P ­ABC中共有4个直角三角形．
6．如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是 (　　)

A．A1D
B．AA1
C．A1D1
D．A1C1
【答案】D
【解析】　易知AC⊥平面BB1D1D．
∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D．
又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故选D．
7．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A

8．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 (　　)
A．α⊥β且m⊂α　　　　 B．α⊥β且m∥α
C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β
【答案】C
【解析】　对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C．
9．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)
A．不存在 B．有且只有一对
C．有且只有两对 D．有无数对
【答案】D

10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则 (　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
【答案】C
【解析】　如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；
∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故C正确；

(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，
∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)
∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．
故选C．
11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 (　　)

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
【答案】B

12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是 (　　)

A．O是△AEF的垂心
B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心
D．O是△AEF的重心
【答案】A
【解析】　由题意可知PA，PE，PF两两垂直，
所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
所以O为△AEF的垂心．
二、填空题
13．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是 ；与AP垂直的直线是 ．

【答案】AB，BC，AC；AB　
【解析】∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直线AB，BC，AC．
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB. 学
14．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)
【解析】连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)
【答案】②③④　

16.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝ 时，CF⊥平面B1DF.

【答案】a或2a　

三、解答题
17.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E­BCD的体积．
【答案】见解析
【解析】　

(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC．
又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．
由(1)知，PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC，
所以平面BDE⊥平面PAC．
(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.
因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.
由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，
所以三棱锥E­BCD的体积V＝BD·DC·DE＝.
18.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.

(1)证明：AE⊥平面PAD；
(2)求多面体PAECF的体积．
【答案】见解析

19.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
【答案】见解析
【解析】　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．

理由如下：连接CM，
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，
所以CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)

20.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【答案】见解析

21．如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.

(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；
(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】　(1)证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC．
设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，
连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，
所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC．
由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD．
所以FG⊥AE，又因为AC∩AE＝A，所以FG⊥平面ACE.所以平面CFG⊥平面ACE.
(2)存在．设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，

连接EQ，CQ，取CO的中点为H，连接EH，
则CH∥EQ，CH＝EQ＝，
所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，
所以EH∥平面CFG，
所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，
且CH＝.学
22.如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．

(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC，请说明理由；
(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．
【答案】见解析


在△MPC中，MP＝AB＝，
MC＝，PC＝＝，
∴S△MPC＝××＝.
∴点B到平面MPC的距离为＝＝.