2019届二轮复习直线与椭圆、抛物线的位置关系学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1.直线和圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

2.“弦”的问题

1.弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|＝·＝ ·|y1－y2|

＝·.

2．处理中点弦问题常用的求解方法

(1)．点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)．根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．

【重点难点突破】

考点1  直线和圆锥曲线的位置关系

【1-1】【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【1-2】【河南省洛阳市2018届三模】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）求的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】（1）由题可知，，设，，所以

，故直线斜率的取值范围是. ]

【综合点评】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．   

【领悟技法】

1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．

3直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.

【触类旁通】

【变式一】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为             .

【答案】

【解析】

由题意，设直线的方程为，，

则，

 联立椭圆方程可得

，

由韦达定理可得，，

是线段的两个三等分点

线段的中点与线段的中点重合

，解得

故答案为

【变式二】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过分别作抛物线的切线，设相交于点.

（1）求的值；

（2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于两点，求的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

，从而．

所以，当m=2时，．

【综合点评】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．

考点2  弦长问题和中点弦问题

【2-1】【湖南省益阳市2018届5月统考】已知直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线与抛物线交于，两点在轴的两侧.

（1）证明：为定值；

（2）求直线的斜率的取值范围；

（3）已知函数在（）处取得最小值，求线段的中点到点的距离的最小值（用表示）.  

【答案】（1）见解析（2）.（3）（或）.

【2-2】【腾远2018年（浙江卷）红卷】如图，直线与抛物线相交于两点，是抛物线的焦点，若抛物线上存在点，使点恰为的重心.

（1）求的取值范围；

（2）求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【综合点评】处理直线与圆锥曲线相交时候的相交弦长和中点问题时，利用根与系数的关系或者中点坐标公式，涉及弦的中点，还可以利用点差法．  

【领悟技法】

1.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．

2. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

【触类旁通】

【变式一】已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为

（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）定值为

【解析】

（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，

由题意得：动圆半径

圆心到轴的距离为，

依题意有，

综合①②，为定值，且定值为

【变式二】椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点 的距离为2．

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在斜率 的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．

【答案】(1) ．（2）l的方程为或．    

，即 

，∴直线的斜率为，       

由，得，∴ ，解得：， 

∴ l的方程为或．   

方法二:直线l恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, ∴不妨设M(0,-2), 则|AM|=4   

∴|AN|=4, 故N在以A为圆心, 4为半径的圆上,即在的图像上．

联立 化简得 ,解得          

当y=-2时,N和M重合,舍去．当y=0时,, 因此     

∴ l的方程为或．                         

【综合点评】中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已知点坐标联系起来；涉及求范围问题，注意方程不等式思想的运用．

【易错试题常警惕】

易错典例：如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.

(1) 求该椭圆的离心率；

(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

易错分析：目标函数难以转化为一个变量的函数．

温馨提示：将目标函数转化为一个变量的函数，进而求范围．

【学 素养提升之思想方法篇】

----数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

【典例】【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若，求△面积的最小值.

【答案】(1).(2)32.

【解析】